三段型の応用問題の解き方！

質問

問題は以下の二問です。問題を連立方程式で解くとどんな式になるのか教えてください。

①　鶴と亀と兜虫の頭の数は30で、足の本数は合計126本です。
鶴と亀の頭の数は同じだとすると、兜虫は何匹いますか。
答え12匹

②　大、中、小の3種類の玉が売られています。大は1個200円、中は1個120円、小は1個50円です。3種類の玉を合わせていくつか買ったところ、全部で20個買って合計1800円でした。それぞれ何個買いましたか。答え　大3個、中5個、小12個

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

①
鶴の足は2本、亀の足は4本、カブトムシの足は6本
鶴がa羽、亀がa匹、カブトムシがb匹とする。
a + a + b = 30 ... (1)
2a + 4a + 6b = 126 ... (2)
(1)より2a + b = 30, b = 30 - 2a ... (3)
(2)より6a + 6b = 126, a + b = 21 ... (4)
(3)を(4)に代入して、a + 30 - 2a = 21, a = 9
(4)に代入してb = 21 - 9 = 12
∴カブトムシは12匹

②
大の個数をa, 中の個数をb, 小の個数をcとする。
a + b + c = 20 ... (1)
200a + 120b + 50c = 1800 ... (2)
(2)÷10より、20a + 12b + 5c = 180 ... (3)
(1)×5より、5a + 5b + 5c = 100 ... (4)
(3)-(4)より、15a + 7b = 80, 7b = 80 - 15a = 5(16 - 3a) ... (5)
(5)が成り立つためには、bが5の倍数である必要がある。
[1]b = 5のとき
15a + 35 = 80よりa = 3, このときc = 12より題意をみたす（∵a, b, cはすべて自然数）
[2]b = 10のとき
15a + 70 = 80よりaは自然数でないから不適
[3]b = 15のとき
15a + 105 = 80よりaは自然数でないから不適
∴(a, b, c) = (3, 5, 12)

お礼

ご回答、ありがとうございます。

補足

連立方程式の立て方を詳細に説明され、感謝してます。