小学5年算数 約数の問題です

質問

教えて下さい
大中小3種類の箱がいくつかあります。どの大の箱にも、中の箱が同じ数ずつはいっていて、どの中の箱にも、小の箱が同じ数ずつはいっています、どの中の箱も大の箱にはいっていて、どの小の箱も中の箱に入っています。小の箱は360個あり、箱は全部で424個あります。大の箱と中の箱はそれぞれいつくありますか
よろしくお願いします。

回答No.4

HAL2（@HALTWO）

典型的な「大人を戸惑わせる小学校問題」ですね(^^;)。
中学受験生に算数や理科を教えていた頃、私は「算数 Paradox」と呼んで楽しんでいました(笑)。
算数の「約数」を教える問題ですから数学の「連立方程式」で解こうとすると返って遠回りになるので「算数 Paradox」というわけです(^^;)。

さて
(1) 大きな箱の数を○とします。
(2) 大きな箱 1 つに入れる事ができる中くらいの箱の数を□とします。
(3) 中くらいの箱 1 つに入れる事ができる小さい箱の数を△とします。
……この (2) と (3) が解き方の味噌となります。

全ての箱の数は 424 個で、小さい箱の総数は 360 個ですので 424ー360＝64 より ○+□×○＝64 です。……64 は ○+□ ででも ○×□ でもないのが味噌です！

＊注
△は 360 ではありませんし、□は中くらいの箱の総数でもありません。
(1) で大きな箱の数を○とした事から、中くらいの箱の数を□とし、小さな箱の数を……あれっ？ 360 個って書いてあるじゃないか！ と戸惑ってしまう大人は「やっていはいけない連立方程式」に持ち込もうとする過ちを冒すのです(^^;)。

○+□×○＝64 を ○× (□+1)＝64 と変形するのは小学生の解き方ではなく、小学生は (□+1) を♡ といったように別の記号にするのですが、ここでは大人に説明するので ○×(□+1) とします(^^;)。

さて、○×□×△＝360 ですので、360÷○÷□÷△＝必ず割り切れます。
つまり ○ も □ も△ も 360 の「約数」です。
○＋□×○＝○× (□＋1)＝64 ですから ○ と (□+1) は 64 の「約数」でもあります。

64 の約数は 1 2 4 8 16 32 の 6 個あり、このうちの 2 つが ○ と (□+1) ということになります。

……で、選んで行くと ○ は 4、(□+1) は 16、□×○ は 60 になるのが判ります。
□+1 は 16 ですので □ は 15 です。

つまり
(1) 大きな箱は 4 個
(2) 大きな箱 1 つに入れる事ができる中くらいの箱は 15 個
(3) 中くらいの箱 1 つに入れる事ができる小さな箱は 6 個
となり

大きな箱は 4 個、中くらいの箱は 15×4＝60 個、小さな箱は 360 個という答になります。

初めに「(1) 大きな箱の数を ○ 個とする」としてしまったのが (2) (3) を作れなくなる間違いの元で、(1) は「約数の問題を無視して連立方程式で解こうとした言い方」になっています(^^;)。
(2) (3) を導くには「(1-A) 軽トラ 1 台に乗せる事ができる大きな箱の数を ○ とする」とでもして、大きな箱 ○ 個を入れる事ができる荷台を初めに考えさせるのです。
(1-A) のような言い方で (1) を決めれば (2) (3) が無理なく繋がりますよね。
(1-A) (2) (3) が「約数」の解き方です。

(1) を「連立法定期」に持ち込もうとして (2) を作ろうとすると □ は中くらいの箱の総数となってしまい、Paradox に落ち込むというわけですね(笑)。

和差算とか鶴亀算といった「頭の中で方程式を作って Ｘ＝ に変形した右辺」を教えれば済む小学 6 年生の算数とは違って小学 5 年生の算数って教えるのに国語力と言うかトンチ力と言うか、子供が興味を持ちそうな事柄に例えて説明する力量が問われるので結構難しいんですよね(^^;)。

小学 5 年生の理科なんて大人撃沈 Quiz みたいなのが多くて面白いですヨ(^_^)/。

回答No.3

tmpname

問題のいわんとしているのは、要は
* 小の箱の数は中の箱の数の整数倍
* 中の箱の数は大の箱の数の整数倍
ということ。

ここからもうちょっと考えると
* 小の箱の数は大の箱の数の整数倍にもなっている
* よって大+中+小の箱の数も、大の箱の数の整数倍
というのが分かる。

従って大の箱の数は大+中+小の箱の数(424)の約数でもあり、小の箱の数(360)の約数、従って424と360の公約数。
424と360の最大公約数は8なので、この段階で大の箱の数は8の約数、従って、8, 4, 2, 1の4つしか候補がない。

で、もう少し考えると、大の箱の数は最大で8なので、中の箱は最小で424-360-8 = 56, 最大で424-360-1 = 63。ところが中の箱の数は小の箱の数(360)の約数でないといけない。360の約数の中で56以上63以下のものは60しかないので、この段階で中の箱が60, 従って大の箱は4であると定まる。

回答No.2

asuncion

大の箱の数 + 中の箱の数 = 424 - 360 = 64
どの中の箱にも小の箱が同じ数だけ入っているから、
中の箱の数は360の約数、かつ、64より小さい。
これらをすべてあげてみる。
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60 ... (a)
また、どの大の箱にも中の箱が同じ数だけ入っているから、
大の箱の数は中の箱の数の約数 ... (b)
また、明らかに(a) > (b)であるから、(a)の候補のうち30以下は除外できる。
よって、(a) = 36, 40, 45, 60の場合について考えて、
(a) + (b) = 64になる((a), (b))の組は、(a) = 60, (b) = 4
∴大の箱は4個、中の箱は60個

回答No.1

tmpname

先ずはどう考えたか、どこまで試してみたか、書いてもらえますか？

補足

大の箱と中の箱の個数の合計は
424-360＝64個　ここまでしかわかりません