場合の数

質問

2以上の整数nについて、集合{1,2,…,n}をＳとし、Ｓの部分集合で要素が2個のもの全体の集合Ｖを考える。さらに、Ｖの空集合でない部分集合で、要素をk個持ち、それらのどの要素である数も一致しないものとをＴとし、Ｔ全体の集合Ｕの要素の数をf(n,k)とする。
Ｖ={{1,2},{1,3},{1,4},…}
Ｔ={{1,2},{3,4},{5,6}}
(k=3の一例)
(1)nが偶数のとき、f(n,k)≧1すなわちＴが存在するためのkの条件を不等式で表し、そのもとでf(n,k)をn,kで表せ。
(2)f(n,k)=f(n,1),k≠1となるようなn,kの組をすべて求めよ。

(1)Ｔが存在する条件は2kがnを越えてはいけないと考え1≦k≦n/2と答を出しました。
f(n,k)=n!/{(n-2k)!k!2＾k}という答を数値代入で出してみましたがよくわかりません。
(2)は代入で(n,k)=(6,3)が出ましたがまだあるかもしれません。

(1)についての解き方と(2)については解き方と答を教えてもらえるとありがたいです。

回答No.1

nag0720

(1)
f(n,k)は、n個から2k個取り出し、それを2個づつの組に分ける場合の数と同じです。
nC(2k)×(2k)!/k^2/k!

(2)
n!/{(n-2k)!k!2^k}=n!/{(n-2)!2}　より
(n-2)!/{(n-2k)!k!}=2^(k-1)

左辺＝(n-2)!/(n-k)!×(n-k)!/{(n-2k)!k!}＝(n-2)P(k-2)×(n-k)Ck
この値の素因数が2だけであるためには、k≦3である必要があります。
（k≧4だと(n-2)P(k-2)には奇数の素因数が含まれるので）

k=2の場合は、
左辺＝(n-2)!/{(n-4)!2!}=(n-2)(n-3)/2
この値には奇数の素因数が含まれるので不適です。

k=3の場合は、
(n-2)!/{(n-6)!3!}=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/6=4
これを満たすのは、n=6

以上から、(6,3)だけが解です。

お礼

ありがとうございました

理解できました

補足

迅速な回答ありがとうございます

f(n,k)は、n個から2k個取り出し、それを2個づつの組に分ける場合の数と同じです。
nC(2k)×(2k)!/k^2/k!
この式がよくわからないのでもう少し詳しく説明してほしいです