ブール環について

質問

Sは集合とし、Sの巾集合P(S)の上の演算+と*を

x + y = (x∪y)-(x∩y)
x * y = x∩y

のように定義したとき、P(S)が環になっていることはどのように示せばよいのですか？

空集合が零元、加法についてのxの逆元はx自身らしいのですが・・・。
教えてください、お願いします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

巾集合の意味はご存じですよね。それが分かれば、後は、環の定義を満たしていることを確認すれば良いだけです。演算P(S)が、＋演算について群であることを示し、また、演算*について、結合法則が成り立つことを確認して下さい。さらに＋,*について分配法則が成り立つことを示せばよいのです。教科書をよく読んで、ご自分で考えて下さい。

回答No.3

koko_u

>任意のx∈P(S)について、x+y=xが成り立つy∈P(s)のことですよね。これは明らかにy=φとなる場合しかありませんね
いやいや、ロジックの立て方が逆だよね。
φに対して ∀x(x+φ=x)が成立するので、逆に加群の性質から∀x(x+y=x)が成立する y が φのみと確定できるかと。

回答No.2

ojisan7

必要ないと思いますが、誤字・脱字が目立ちますので、訂正しておきます。
「演算P(S)が、＋演算について群であることを示し、」は
「巾集合P(S)が、演算＋について群であることを示し、」
と訂正します。

ついでですのでもう少し補足をしましょう。
加法の単位元（零元）は任意のx∈P(S)について、x+y=xが成り立つy∈P(s)のことですよね。これは明らかにy=φとなる場合しかありませんね。ｘは任意であるのに対し、yはxに依存しない固定した元です。また、ｘの逆元はx+y=0を満たすy∈P(s)です。言い換えれば、x + y = (x∪y)-(x∩y)=φを満たすyです。この場合も明らかです。y=xとなる場合しか考えられません。逆元yは単位元と異なり、xに依存する元です。分配法則の成り立つことも確認して下さい。ところで、証明するに当たって、集合A,Bについての差集合A-Bの意味は、A-B=A∩A^(c)ということだ、ということはご存じですよね。