加法族

質問

CをNの部分集合cとする。
lim　m^-1#{k:1≦k≦m; k∈c}が存在し稠密となる
m↑∞

C={c⊂N|lim#{k∈c 1≦k≦ｍ｝/m }

Cは加法族でしょうか？　加法族ならば証明も教えてください

回答No.2

tecchan22

加法族にはならないですね。

まず、次のような数列｛a(n)}を考えます。
０と１からなる数列で、まず、平均が1/2以上となるまで、１を並べます。次に、平均が1/3以下となるまで、０を並べます。これを繰り返します。
すると、1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,・・・
（ちなみに１,０の並ぶ個数は、1,2,1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,・・・三項目以降は規則的になります。今は必要ありませんが。）

すると、a(n)の１～ｎ項の和S(n)について、
S(n)/nは、1/3以下から1/2以上までを振動します。（ｎ→∞で収束しません）これを用います。
※本当は、ちょうど1/3とちょうど1/2の間を振動しますが。

まず、c1∈Ｃを、奇数全体の集合とします。（問題の極限の値は1/2ですから、Ｃに入ります）
次に、c2∈Ｃを、やはり極限は1/2になるように、隣り合う奇数・偶数（2n-1と2n)から、一つずつ選ぶようにします。（１と２のどちらか、３と４のどちらか、５と６のどちらか、・・・と選んでゆく）
その選び方に、上の{a(n)}を使います。
つまり、各ｎ∈Ｎに対し、a(n)=1のとき、2n-1をえらび、a(n)=0のとき、2nを選ぶようにします。
そうすると、c1∩c2は、｛2n-1|a(n)=1}となりますね。これをＡとします。このＡがＣに入らないことを示します。
さて、
｛１,２,・・,２ｍ｝∩Ａの元の個数
＝[a(n)＝1となる1≦n≦mの個数]
＝a(1)+a(2)+・・+a(m)
＝S(m)
ですね。
よって、(2m以下のＡの元の個数)/2m＝S(m)/2m　は、1/6以下と1/4以上の間を振動するわけです。（∵a(n)のつくり方から）
つまり、Ａは問題の極限を持たないので、ＡはＣには入りません。

もしＣが加法族なら、任意の元の補集合も、任意の二つの元の和集合も、Ｃに属しますから、任意の二つの元の共通部分もＣに属さねばなりません。

よって、Ｃは加法族ではありません。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

tecchan22

どうなんだろう？

でもまず、ちょっと言葉が変でないか？

(1)Ｃ はＮの部分集合「族」だよね。
(2)Ｃ の定義は、Ｃ ={c⊂N|lim(m→∞)[#{k∈c：1≦k≦ｍ｝/m ]が存在する}だよね。
(3)稠密とは？
(4)加法族とは、完全加法族のこと？有限加法族のこと？

補足

英文だったのですいません・・
(1)そのとおりです
(2)そのとおりです
(3)訳が微妙だったのでこう言い直した方がいいかな
C:={c⊂N|lim(m→∞[#{k∈c:1≦k≦m}/m]だと定義した場合Cは加法族？
(4)有限加法族の方かな