二次関数

質問

問題
kを、k≧0　をみたす定数とする。
二次関数y=(x)=-x＾2＋2kx-4k＋4(0≦x≦1)の最大値を求めるにすいて

頂点が(k,k＾2-4k＋4)

になるのがわかるのですが、場合分けがよくわかりません。
この場合
0≦k≦1
と
1<kのときにわかれみたいなのですが、どうやって場合分けの範囲がわかるのでしょうか？

範囲の求め方を教えてください。

お願いします

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、＃２です。

＞軸が、この範囲をはずれていたら、上に凸の放物線なんだから
ｘ＝１のときに最大になりますよね。
（１＜ｋ）
についての意味がわかりません。

軸は(k,k^2-4k+4)なので軸のx座標はx=kですよね。
軸が0≦x≦1の範囲のときは、x=kのとき
y=f(x)は最大になる、というのはいいんですね。・・・・(1)

軸がこの範囲をはずれていたら、というのは
x=kのkが１よりも大きければ、ということです。

なんでそうなるか、というと、最初に問題文中に
0≦k
と与えられていますよね？

そこで、(1)の場合は、xの定義域0≦x≦1
の中では、x=k（軸のとき）にyは最大になりますが
x=kが０と１の間になければ、それは「１より大きいとき」となりますが
このときは、グラフより
0≦x≦1の範囲では、x=1のときのほうがx=0のときよりも大きいです。
この区間では、xが大きくなればなるほど（１に近づくほど）
yも大きくなっていますので、0≦x≦1という範囲の中では
x=1のときにyが最大になるんですね。

0≦x≦1
という定義域は、動かせませんが、x=kという軸は
kの値がいろいろ変わることで、動きますね。
また、グラフの最大・最小を考える問題では、定義域が大事です。
その限られた範囲の中での、最大を探すので、この問題では
x=kのkとx=1の大小で場合分けしています。
ご理解いただければうれしいです。

回答No.2

fushigichan

boku115さん、こんにちは。
＃１さんが説明されているとおりですが、

＞0≦k≦1
と
1<kのときにわかれみたいなのですが、どうやって場合分けの範囲がわかるのでしょうか？

なんでこの２つの場合分けか、というと、
ｋの範囲が、ｋ≧０であることと、
ｘの範囲が、０≦ｘ≦１であること、だからです。

頂点が分かっている、ということで平方完成はできたんですね。

y=f(x)=-x^2+2kx-4k+4=-(x-k)^2+(k^2-4k+4)
と平方完成しました。
この頂点は(k,k^2-4k+4),グラフは上に凸のグラフになりますよね？

０≦ｘ≦１での最大値を求めるにあたって、もしも、
この範囲の中に軸がきていたら、頂点のところで、一番ｙ座標が大きくなっているはずですね？
（このとき、０≦ｋ≦１）

軸が、この範囲をはずれていたら、上に凸の放物線なんだから
ｘ＝１のときに最大になりますよね。
（１＜ｋ）

ｋ≧０という条件がついていますので、
軸がｙ軸よりも左に来ることはありません。
＃１さんもアドバイスされていますが、この問題ではグラフを描くようにしてくださいね。

補足

＜軸が、この範囲をはずれていたら、上に凸の放物線なんだから
ｘ＝１のときに最大になりますよね。
（１＜ｋ）
についての意味がわかりません。
もうすこし、詳しく教えてもらっていいですか？

すいません

回答No.1

ONEONE

軸が0≦x≦1のときの最大値は頂点。
軸が1＞xのときの最大値はx=1のとき（0≦x≦1ではf(x)は単調増加）
グラフを描いてみれば解ります。

とにかく「頂点が範囲内にあるか」「右にずれているか」「左にずれているか」で場合分けすればいいです。
今回は左にずれている場合はk≧0の条件から除外される。