x^3-1の因数分解のヒントはあるのでしょうか

質問

ｘ＾３-１＝(x-１)(x^2+x+1)を導く方法があるのでしょうか。

回答No.4

tmppassenger · ベストアンサー

因数定理から、f(x) = x^3 - 1に対して f(1) = 0であるから、f(x) は x-1を因数に持つ。

それもそうだし、等比級数の和の式から、r≠1の時 1 + r + r-^2 + ... + r^n = { (1-r^(n+1) } / (1-r) となるから、r=1の時も含め 1-r^(n+1) = (1-r) (1+r+r^2 + .... + r^n)が成り立つ事は思い出さないといけない。
（そして、この等比級数の和の式はどうやって出していたかも、思い出さないといけない。）

お礼

私には難しすぎるお話ですが、何とか理解したいと思います。

回答No.3

gamma1854

方程式 x^3 - 1 = 0 を初めてみるとして、
f(x) = x^3 - 1 において、f(1) = 0 はすぐわかり、割り算を実行すると商である２次式がでます。
-----------------
慣れている場合はすぐに、
x^n - 1 = Π[k=0~n-1] (x - exp(2kpi*i/n)).
とわかります。

お礼

＞慣れている場合はすぐに、
＞x^n - 1 = Π[k=0~n-1] (x - exp(2kpi*i/n)).
＞とわかります。

という事は慣れていないとすぐには分からないということですね。

回答No.2

kiha181-tubasa

展開式からの変形なら，次のように導けます。

(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
から
x^3-1
=(x^1)^3+3x^2-3x
=(x^1)^3+3x(x-1)
=(x^1){(x-1)^2+3x}
=(x^1){x^2-2x+1+3x}
=(x-1)(x^2+x+1)

お礼

x－1の項を作り出すのが大切なのですね。

回答No.1

asuncion

f(x) = x^3 - 1
とおくとf(1) = 0
であるから、因数定理より
f(x)はx - 1を因数にもつ。
あとは、実際に割ってみればよい。

お礼

割算をすればよいと思いましたが、実際にはできませんでした。