むずかしい因数分解

質問

x^4+3x^2+2x+12 を因数分解する方法を教えてください。
ただし、虚数は出てきません。
解答はありますがやり方がわかりません。

xでくくったり、x^2=uとおく方法や、
(x-a)^2を展開してみて元の式と比較する方法もやってみましたが、うまくいきません。

高校生にわかるレベルで方法を教えていただけませんか。

回答No.7

178-tall

ANo.6 への蛇足。

参考 URL の末尾にある「デカルトの方法」をなぞってみると…？

　x^4+3x^2+2x+12 = (x^2 + ax + b)(x^2 - ax + c)
　　　↓
　b+c = a^2 + 3
　b-c = 2/a
　bc = 12
　　　↓
　4bc = (a^2+ 3)^2 - (4/a^2)
　　　↓
　a^6 + 6a^4 - 39a^2 - 4 = 0　　…(1)

この (1) が a=2 にて成立することに気づけば、バタバタ解ける。

気づかねば、(1) つまり a^2 の 3 次方程式を解くことになる。

…なるほど「煩雑 (むずかしい) 」なモンダイでした。

>ただし、虚数は出てきません。

ならば、2 次因数に分解して終了。∵ すべて複素零点らしいので…。

お礼

やっぱりむずかしい問題だったのですね。

回答１～３の方法でといてみようと思います。

回答No.6

178-tall

どう変形しても 4 次方程式。

でも、 「4 次方程式は解けます！」

参考 URL
　　　↓
>Ｆｅｒｒａｒｉ の解法

など…。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htm

お礼

回答ありがとうございます。

参考URLを見ました。
高校の範囲を超えているように見えました。

回答No.5

QoooL

＃４です。間違えました。お恥ずかしい。

１次の項の因数はないですけど、他の方がおっしゃる通り因数分解はできます。

3かける4　になるのはあくまでも　出題者が優しい場合　ですけどね。
ちゃんと具体的に　3や4　に当たりを付ける　方法を他の方が示してくださっています。

実数解はなくても因数分解はできるということですね。
失礼しました。

お礼

No4のとおりです

回答No.4

QoooL

解答は　どうなってます？　教えてください。

実数の範囲で因数分解はできないと思います。

x^4+3x^2+2x+12

に書き間違いがあるのではないかと疑っています。どこかが　－　のはず。

まず、
４次の項　x^4
２次の項　3x^2
は常に　≧0　です。

そこで場合分け。

x≧0　のとき
x^4+3x^2+2x+12 ＞0　です。
x^4+3x^2+2x+12 =0　とならないということは、xの実数解がないということです。

なぜこれを調べているかというと、
x^4+3x^2+2x+12 =(x-a)(bx^3+cx^2+dx+e)
とおけるならば、
x=a のとき　x^4+3x^2+2x+12 =(x-a)(bx^3+cx^2+dx+e) =0
だからです。

対偶で考えると、
x^4+3x^2+2x+12 =0　となる x が見つからないということは、xの実数解 a がないということです。

x＜0　のとき
x^4+3x^2+2x+12 =0
x^4+3x^2+12 = -2x　・・・☆
さらに２つに分ける。

-6＜x＜0　のとき
☆の左辺　≧　(-6)^4+3(-6)^2+12 = 1296 + 108 +12 ≧12
☆の右辺　-2x　＜　12
（0＜-2x＜12）
☆を満たす x は存在しない

x＜-6　のとき
ここは数学的な証明は省略して（証明もできますけど）
直感的な説明をすると、
x^4+3x^2+12 = -2x　・・・☆
x　の絶対値が増えるにつれて
右辺の絶対値　｜-2x｜　は直線的に増えるのに対して
左辺は指数関数的に（うなぎ上りに）増える。

x=-7
x^4+3x^2+12 = 2401+3*49+12
-2x = 14

x=-8
x^4+3x^2+12 = 4096+3*64+12
-2x = 16

x=-9
x^4+3x^2+12 = 6561+3*81+12
-2x = 18

右辺を計算する必要はない。

見ての通り、全ての x を当たっても、☆を満たす実数解は見つからない。

ということは、失礼だけど質問が間違っていると思うしかない。

ちなみに、因数分解の場合、学校では
12 = 3*4
12 = (-3)*(-4)
12 = 2*6
12 = (-2)*(-6)
というような　親切な問題に慣れてしまっているかも知れないが、
高次方程式を習っている高校生の場合、大学入試では
12 = (-1/2)*(-24)
12 = (-4/3)*(-9)
などのありとあらゆるケースを考えて解いていかないといけない。

ただ、並のレベルの大学ならば、
x^4-3x^2-2x+4
という式の形を見たときに
（一部　符号や定数を変えました）
-1　や　1　や　-2　や　2　のどれかを入れてみて、
たいてい x^4-3x^2-2x+4=0 の解が１つ見つかる（この場合 x=1 ）。

それでダメなら x=1/2 なども試してみる（４次の項の係数が1でない場合）。

お手持ちの解答が気になります。
因数分解の解答が示されていて、途中がわからないのですか？
書いてください。

お礼

ええと、、、

> ということは、失礼だけど質問が間違っていると思うしかない。

他の回答者の方から、検算も簡単な解答を述べていただいているのに、
わざわざ、このような挑発的な回答をされる必要はないと私は思います。
わからないのであれば、無理に回答していただかなくてかまいません。
お互いの返答や回答の工数が無駄になるだけになってしまいます。

ちなみに、因数分解の解答は他の方の回答で示されているとおりです。

回答No.3

noname#212313

じっと睨んで、(x^2+2x+3)(x^2-2x+4)が出ました。x^4の項の係数が1、x^3の項の係数が0、x^0が12だから、等々といった点から勘です。

　正確にやろうとすれば、まずy=x^4+3x^2+2x+12とおいて考えてみる必要があります。これのグラフがどうなるかです。xで微分すると

　y'=4x^3+6x+2

です。これを詳しく調べると（詳細は、さらに微分したりで長くなるので割愛します）、-1と0間で正負が逆転する、言い換えればその間のどこかで0になります（そこ以外に正負の逆転はなさそう）。

　ということは、y=x^4+3x^2+2x+12は-1と0の間で最小値になりますが、調べてみると0になりません。

　ということは、x^4+3x^2+2x+12はx-aという1次式では因数分解できないことが分かります。なぜなら、x^4+3x^2+2x+12がx=aで0になるなら、x-aで割り切れる、つまり因数分解できるという定理があるのです（因数定理）。逆に与式が0になるxがないなら、xの１次式では因数分解できないということになります。

　さて、1次式では因数分解できないことが分かりました。それなら、2次式以上で探すしかありません。物凄く面倒ですが、元の式が4次式ですから、4次の項の係数が1であることも使えば、

(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

の形に因数分解できると考えて、上式を展開して係数のa, b, c, dの部分を元の式の係数に等しいとして連立方程式を作り、解くしかありません。それでも確実に解けるかどうか、運次第な面もあります。もしくは、これを睨んで勘でa, b, c, dを選ぶか……。

P.S.

　今回は物凄い偶然で勘が当たりました（できたので驚いたのが本音）。実は私も因数分解は苦手です。するするやっているように見える人に聞いたら、何度もやった勘、とのことでした。

お礼

回答ありがとうございます。

> ということは、x^4+3x^2+2x+12はx-aという1次式では因数分解できないことが分かります。なぜなら、x^4+3x^2+2x+12がx=aで0になるなら、x-aで割り切れる、つまり因数分解できるという定理があるのです（因数定理）。逆に与式が0になるxがないなら、xの１次式では因数分解できないということになります。

はい。
私もそう思って、(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)という形になるのだろう、というところまでは導くことができました。
（もちろん、解答は手元にあるのでわかっていることですが、例えば試験などで問題が出されたことを想定して解いています。）
しかし、その後がどうしても解くことができませんでした。
（解の公式はないのでしょうか。。。）

PS

> 　今回は物凄い偶然で勘が当たりました（できたので驚いたのが本音）。実は私も因数分解は苦手です。するするやっているように見える人に聞いたら、何度もやった勘、とのことでした。

因数分解は「ひらめき」も大事という話も聞きました。
わざわざ解いていただきありがとうございます。

回答No.2

staratras

まず　 f(x)=x^4+3x^2+2x+12　はxがどんな実数でも０になりそうもないということに気づきます。

x≧０ならば　もちろん正ですし、x<0でも負なのは2xだけで、x^4+3x^2+12の正の値よりも常に絶対値が小さくなりそうだと考えられるからです。(厳密にはf(X)の最小値を調べる必要がありますが、見当を付けるだけの目的なのでこの程度です）なのでf(x)=0　となるxの値を見つけるという方法は使えません。

因数分解できるならば、=0とおいた2次方程式がいずれも実数解を持たない2つの2次式の積になるはずだという見通しがつきます。

幸い与式には3次の項がありませんので（x^2+ax+b)(x^2-ax+c)とおくことができます。
展開したx^4+(b+c-a^2)x^2+a(c-b)x+bc と与式の係数を比較すると

b+c-a^2=3　…(1)
a(c-b)=2　…(2)
bc=12　　　…(3)

正直に解くとやや面倒ですが(3)からb=3.C=4と見当を付けると(2)からa=2でこれは(1)を満たします。

したがって答えは(x^2+2x+3)(x^2-2x+4)です。

お礼

回答ありがとうございます。

> 幸い与式には3次の項がありませんので（x^2+ax+b)(x^2-ax+c)とおくことができます。

これを使って、実際にやってみました。

やはり掛けて１２となる数字を順に試していくのが一番速そうです。
bやcに√が含まれていたら、、、またそれは別で考えてみます。。

回答No.1

transcendental

１２の約数をｘに代入しても式の値が０とならない場合、与式は２つの２次式の積（係数は実数）となる場合があります。
（与式）＝（ｘ＾２＋ｐｘ＋ｑ）（ｘ＾２＋ｒｘ＋ｓ）
と分解できると考えるわけです。
ここで、展開式に３次の項がないことから、ｐ＋ｒ＝０でありｑｓ＝１２より、（ｑ、ｓ）＝（４、３）としてみます。すなわち、
（与式）＝（ｘ＾２＋ｐｘ＋４）（ｘ＾２－ｐｘ＋３）
これを展開して
（ｘ＾２の係数）・・・７－ｐ＾２＝３
（ｘの係数）・・・－ｐ＝２
すなわち、ｐ＝－２となります（成功！）。
もしも、この２つの方程式を同時にみたすｐの値が存在しなければ、（ｑ、ｓ）＝（２．６）などとしてみます。

お礼

回答ありがとうございます。

> ここで、展開式に３次の項がないことから、ｐ＋ｒ＝０であり

なるほど、これを使えば考える範囲を狭めることができるのですね。

係数についてですが、

> もしも、この２つの方程式を同時にみたすｐの値が存在しなければ、（ｑ、ｓ）＝（２．６）などとしてみます。

ということは、順に代入していくしか、解法はないということでしょうか。
あるいはそれが簡単そうということでしょうか。
解の公式みたいなのはありますか。