数学 確率 サイコロ

質問

画像の問題の(2)の解き方の方針が立ちません。解き方と答えが知りたいです。(1)の自分の答えはp=5/36,q=31/216となりました。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

(2)について

状況を整理する
＊ A, Bは交替で駒を動かす。Bが駒を動かしている時Aは駒を動かせない。逆もまたしかり。
＊駒が0にある時：次サイコロを振っても、絶対に上がらない。駒は1から6のどれかに移動する
＊駒が1にある時：次サイコロを振っても、絶対に上がらない。駒は2から7のどれかに移動する
＊駒が2-7のどれかにある時：次サイコロを振って上がる確率は1/6。上がらない場合は駒は3-7のどれかに移動する。（従って、次もサイコロを振って上がる確率は1/6）。

以下、Aがn回目に上る確率をp[n]、Bがn回目に上る確率をq[n]で書く。

従って、先ずAが1回目サイコロを振ると、1回目では上がらず、Aの駒は 1-6のどれかに移動する。（p[1] = 0)
Aがn回目に上るこの状態から：

I. 2≦k≦7の時
以下、Bが (n-1)回、Aがn回振ってもまだどちらも上がってない確率をr[n]と書く。
するとn≧1に対し、Bが (n-1)回、Aがn回振った段階で、Bの駒は常に2-7のどこかにいるので、q[n] = r[n] * (1/6)である。一方、Aについては1-7の何処かにいるので、p[n+1] ≦ (r[n]-q[n]) * (1/6) < r[n] * (1/6) = q[n] である。

従ってΣ[n≧1] p[n] < Σ[n≧1] q[n]で、Aの勝率はBの勝率を常に下回る。

II. k=1の時、
以下、Aが n回、Bがn回振ってもまだどちらも上がってない確率をs[n]と書く。
Aが2回、Bが2回振ってもまだどちらも上がってない時、両方共2-7のどこかにいるので、『n≧3の時は』p[n] = s[n-1]*(1/6), q[n] = (s[n-1] - p[n]) * (1/6) < s[n-1] * (1/6) = p[n] である。
（n≧3の時、p[n] - q[n] = (s[n-1] * (1/6)) - (s[n-1] - s[n-1] / 6) * (1/6) = s[n-1] * (5/36)である）

p[3] - q[3] だけ計算する必要がある。
p[1] = q[1] = 0
s[1] = 1
既に書いてもらった通り p[2] = 5/36 q[2] = 31/216
p[2] - q[2] = -1/216

s[2] = s[1] - p[2] - q[2] = 1 - 61/216 = 155/216
p[3] - q[3] = s[2] * (5/36) = (155/216) * (5/36)であるから、

(p[2] - q[2]) + (p[3] - q[3]) = -1/216 + (155/216) * (5/36) = (1/216) * (1/36) * (-36 + 155 * 5) > 0

Σ[n≧1] p[n] = p[1] + p[2] + p[3] +Σ[n≧4] p[n]
Σ[n≧1] q[n] = q[1] + q[2] + q[3] + Σ[n≧4] q[n]
で、p[1] = q[1] = 0、(p[2] + p[3]) - (q[2] + q[3]) > 0、 n≧4の時はp[n] > q[n] であるから、Σ[n≧1] p[n] > Σ[n≧1] q[n]

となって、k=1の時だけ、Aの勝率がBを上回ることが分かる。

回答No.2

f272

両者が2から7のマス目にいるときは，先攻の方が勝つ確率が高い。その確率をPとすれば，後攻が勝つ確率は1-P=(5/6)Pである。なぜなら引き分けになる確率は0であることと先攻がサイコロを投げてゴールしなければ先攻後攻が入れ替わった状況になるからである。したがってP=6/11となり先攻の方が勝つ確率が高い。

k=1のときに，Aがサイコロを投げて1のマス目にくれば，もう一回づつサイコロを投げれば上記の状況になるので，先攻のBの方が勝つ確率が高い。Aが勝つ確率5/11
k=1のときに，Aがサイコロを投げて2-7のマス目にくれば，もう一回Bがサイコロを投げて上記の状況になっても，先攻のAの方が勝つ確率が高い。Aが勝つ確率6/11
従ってk=1のときにAが勝つ確率1/6*5/11+5/6*6/11=35/66

k=2-7のときに，Aがサイコロを1回投げて1のマス目にくれば，Bの方が勝つ確率が高い。Aが勝つ確率5/11未満
k=2-7のときに，Aがサイコロを1回投げて2から7のマス目にくれば，先攻のBの方が勝つ確率が高い。Aが勝つ確率5/11
従ってk=2-7のときにAが勝つ確率は5/11未満です。