毛管現象に関する質問

質問

半径rの毛管を水面につけ表面張力によって高さhまで毛管内に水が上がってきたとします．毛管内には球面状のメニスカスができます．この球面に作用している力はこの面を上から押す下向き圧力P0，下から押す上向き圧力P，そして円周に沿って上向きに作用する表面張力σの鉛直成分σcosθです．このときの力の釣り合い式はπr^2P0=πr^2P+2πrσcosθなのですが，P,P0に関しては球面に作用する力なのに，πr^2として毛管の断面積をかけています．次元としては全ての項がエネルギーになりますが，この点がシックリ納得できません．球面に作用しているのに平面積をかけても良いのでしょうか？気持ち悪くて夜も眠れません．

回答No.1

noname#25799 · ベストアンサー

可能性としては、

1. 平面としての近似
上向き・下向きの圧力に単に面積をかけてある。

2.　球面としての近似
表面張力を示す液面を半径Rの球面と考えます。（このときの中心をO）。上から見たときの液面の中心（O’)から水平に伸ばして液に到達するところ（A)までの距離をr'とします。OO'とOAのなす角をΘとすると、
∫∫（Pcosφ）ΔΦΔr'
が知りたい圧力の大きさだと思います。
（φは0から2πまで、r'を０からr（管の半径のr）まで）
∫PΔΦ（０から２π）はそのまま2πPでいいと思います。（A)

残った部分の
∫cosφΔｒ’（0からrまで）
に対してr'=Rsinφを使って変形していくと
R^2∫sinφcosφΔφ　（0からΘ）（B)
となり、
I=∫sinφcosφΔφ　とすると
I=∫(sinφ)'sinφΔφ=[sin^2φ]-∫sinφcosφΔφ
=[sin^2φ]-I
∴I=1/2[[sin^2φ]
r=RsinΘより
I=1/2(r/R)^2（C)
（A),（B)、（C)よりπr^2Pが出てくると思います。

ただ、本当のところこの液面が球上に位置するかどうかよく分かりません。私も専門家の意見を待ちたいです。