常微分と偏微分の組み合わせ

質問

物理では、しばしば、
(∂y/∂x) * dx = dy なる式変型がでてきます。
(dy/dx) * dx = dy に似ているから、そうなる場合もあるのだろう程度に納得しておいています。
これが成立する場合の厳密な証明は難解だと、講師に脅かされて、放置しておりますが、
証明でなくとも、なんとなく納得できる説明をご教示くださるか、そういった書籍、ホームページ等を教えてください。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

No.2さん、全微分も関数をテイラー展開を1次の項で打ち切っただけの近似です。x方向のみの微分量だけ考えれば質問文の記述になります。

お礼

度々の記載ありがとうございました。

回答No.7

ramayana

ANo.6に補足します。

(∂y/∂x) * dx = dyとなるのは、yに影響する変数がx以外に明示されていないときのことです。

もし、ｙが他の変数にも依存するという想定、たとえばyがxとzで定まるという想定なら、

　　dy = (∂y/∂x) * dx + (∂y/∂z) * dz

となります。

回答No.6

ramayana

まず、「厳密な証明」と「なんとなく納得できる説明」が必ずしも両立しないことは、質問者さんも多分、分かっていいらっしゃると思います。

なんとなく納得できる説明でよければ、
（∂y/∂x）dx =（ 微小なyの変動分／微小なxの変動分）×微小なxの変動分
　　＝　微小なyの変動分＝dy
で終わりです。なお、「∂y/∂x」と「dy/dx」の違いは、yに影響する変数がx以外にあると思っているかどうかの違いです。ｘとy以外の変数が明示的に示されていないときで、「なんとなく納得できる説明」でよいときなら、同じものを表していると考えて差し支えありません。

厳密にいうときには、

[1] ∂y/∂xは、ベクトル場∂/∂xによる関数yの値である
[2]　dxは、１つの微分形式である

ということが出発点になります。そのためには、ベクトル場や微分形式のきちんとした定義を理解する必要があります。講師の先生が仰る「難解」というのは、これらの定義を理解することの面倒くささを指していると思われます。実は、定義さえ分かれば、（∂y/∂x）dx＝dyの証明は全然難しくありません、というか、ほとんど当たりまえのことです。

参考書としては、次のものがあります。
http://www.amazon.co.jp/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93%E5%85%A5%E9%96%80-%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%81%B8%E6%9B%B8-5-%E6%9D%BE%E5%B3%B6-%E4%B8%8E%E4%B8%89/dp/4785313056

お礼

回答ありがとうございます。
書籍をみつけたら、立ち読みし、太刀打ちできそうなら、購入してみます。

回答No.5

hitokotonusi

単にx以外の独立変数を止めた状態でxを微小変化させたときのｙの変化量を記述してるだけでしょう。
あらゆる条件下でこれが成立するはずがないことは明らかですから。
そんなに大仰に言うほどのこともないと思いますけど。

たとえば定積の状態で温度を変化させたときの内部エネルギーの変化量なら

dU = (∂U/∂T)v dT = Cv dT

と書くとか。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.4

kabaokaba

物理ってのは
しばしば数学では絶対に許されない変形を
非常にナイーブに行うことがあります．
そういうものを数学的に厳密に証明することは不可能です．

例えば，z=f(x,y)の全微分
dz = f_x dx + f_y dy
を「Taylor展開の一次部分」と言い切るのは
厳密な数学としては・・・脇が甘いのかもしれません．
＃もちろんこれは正当化されます

数学の立場では
（一次の）微分形式というのが,多様体の余接バンドルの切断という形で定義され，
＃ちなみに接バンドルの切断がいわゆるベクトル場
＃（一次）微分形式はベクトル場の双対に相当する
これに加えて外微分 d なるものが定義されて
このdを関数fに作用させたものが df となるのです．
＃実際にはさらにテンソルを考えて高次の微分形式を考えて
＃dでコホモロジーとか構築して話を進める・・・

もし関数fがyについては一定であるのであれば
df= f_x dx
ですが，そもそもyについて一定であるならf(x,y)と書かずにf(x)であって
偏微分ではなく普通の微分でしょう．

きっともともとの式には
何か前提条件があるのでしょう．

お礼

テンソルの理解が、現在、発展段階なのですが、
その際に出てくるのです。
＃１様がいうように、テイラー展開の近似だというのなら、
その辺から理解し直そうと思います。
テンソルがわかっていないのに、そこから、理解を構築すると、循環論法っぽくなりそうです。
回答ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

ご質問の主旨ですけど…。

　たとえば、z = f(x, y) に対するいわゆる「全微分」
　　dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy
　とは違うようで、見かけない変形です。

具体例を提示してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
他の方達の説明で、理解が少しだけ進みました。

補足

例えば、uv座標の(u,v)とベクトルdu、ベクトルdvによって形成される平行四辺形を
xy座標に移す際　　　要はヤコビアンですが、
dx={x(u+du,v),y(u+du,v)}-{x(u,v),y(u,v)}
={x(u+du,v)-x(u,v),y(u+du,v)-y(u,v)}
≒{(∂x/∂u)*du,(∂y/∂u)*du)}
dyも同様ですが、その≒ところなどですね。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

dyといった記述は微小量を表します。
∂を使った記述は、どちらかというと何かで微分するという意味を表します。∂_t(下付きのt)はtで微分など。

∂y/∂xはyが一般に多変数であることを意味し、その中のxという変数で微分しているということになります。
また、微小量なのか微分なのか分ける意味で使う人もいますね。

お礼

回答ありがとうございました。