四次元はなぜ納得感を持って想像できないのでしょう？

質問

四次元は「想像」できるものではないということについて、皆さんの考えを教えてください。
先に断っておくと、今回の話題は数学的な性格ももちろん帯びているでしょうが、どちらかといえば現実的・物理的(非観念的)な話になると思います。
そもそも三次元すら、私たちは想像上でしか触れていないものを納得しているだけだと思うのです。
というのも、我々の視界は根本的にテレビとかの映像と変わるものではなく、二次元だからです。二次元として広がっている視界内にある諸々の三次元の物体を三次元のものとして当たり前のように認識できるのは、そういった物体をいろんな方向から見たときの見え方の関係とそれに伴う時間経過の関わりをよく経験しているかだなのだと私は思います。つまり実質的には時間軸が、実は三番目の次元として我々の認識を構成しているように思えます。
両目あるから立体を認識できるという考えが主流のように思えますが、ではたとえば先天的に片目しか見えない人間は立方体の等角写像を見ても菱形を3つ組み合わせた形としか見れないのかといえば、そんなことはないと思います。
その納得感は触覚の記憶から来ていると思います。四角い形を手のひらで包むように触ったときの、頂点の尖った感覚の位置関係。そういう記憶によって、静止した図面であっても、それが三次元を描いた図と断ってもあれば、その図が則っている遠近法から三次元としての物体が納得感をもって想像されるのだと思います。ちろんその情報は両目が見える一般的な人の納得感にも寄与していると考えます。
そういうわけで、視界や図として二次元にしか触れていない我々が三次元の形状の全体像を理解しているというなら、４次元は数式や断面図から断片的な性質として理解するしかなく、その形状の全体像は想像できるものではない、というのは実は思い込みに過ぎないのではないかと思いました。
しかしクラインの壺にしても超球にしても、いろいろな啓蒙記事からイメージを膨らませて見ても、私を含め確かな納得感にまでは至らないという人が多いと思います。一体三次元との違いは何なのでしょう?三次元にしても立方体を回転させたアニメーションとか、平面の現象にせいぜい時間軸を足したもので納得しているだけです。もしも遠近法が考慮された平面の図が触覚等の記憶により実質的に三次元の情報として我々の認識に作用するのであれば、アニメーションなら四次元までは無理なく表現できるはずで、また我々もそれに納得感を感じなければおかしいと思うのですが、現実問題納得できない。立方体の図にが側面の辺の長さは異なっていても何も思わないのに、超立方体の図はどうしてもへこんだ箱、あるいは立方体が入れ子になったような状態というところから納得感のある想像へと昇華させることができずに悶々としてしまうわけです。なぜこういったことになっているのか。
また別の事例として四次元であれば三次元の密室から壁抜けということがいわれることがありますが、このようなことも観念的には理解できても現実的なあるいは物理的なことしてはどうにも納得感が持てません。四次元方向に移動すると三次元の人からは消えたように見える、その後部屋の外に「着地」すれば壁抜けは完了するということですが、これがもう分かりません。
では我々が密室を壁の破壊を伴わずに「壁抜け」することができないのはなぜなのかと考えてしまうのです。それは我々が三次元しか認識できないからなのか、であれば認識に頼らずでたらめに動けば抜け出せるのか、いやそういうことはないだろうと思ってしまうわけです。私の素人考えですがこの空間には次元という制約はなく無限の方向が広がっているのではないかとすら思っています。一方で宇宙全体ならともかく局所的には三次元の広がりとしか空間は実在していないから、密室という有限空間の四次元を介した壁抜けというのはできないのではないかなとも思います。つまり四次元の壁抜けというのは数式では表現できても物理的な意味付けは原理的に不可能で、こちらについては想像すること自体がナンセンスだと思うのですがみなさんはどう思いますか？
余談ですが電磁波は三次元の現象だから我々の目の前に四次元の物体があっても三次元の物体と区別がつかないようにしか見えないという説を聞いたのですが、では音波ならどうなのだろうかと思ったことがあります。つまり(1,1,1,0)と(1,1,1,1)のベクトル成分を持った音波をそれぞれ聞き分けることが我々には可能なのではないか、三次元でいう触覚の記憶のように、エコーロケーションの経験があれば四次元の形状の全体像に対するイメージを無理なく持てるのではないかと思いましたが、これについても意見があったら聞かせてください。

回答No.7

QCD2001

これは、「慣れ」あるいは「トレーニング」の問題であると考えています。

私の本業は歯科医師です。歯科治療の中で難しい治療のひとつに、歯の神経の治療があります。
これは歯の根の中にある、神経が入っている管の中をきれいに掃除をして、樹脂でふさぐ治療です。
しかし、歯の根はまっすぐではなく、3次元的に湾曲しており、その中にある神経の入っている管も3次元的に湾曲しています。その3次元的に湾曲した管の中を適切に清掃するのはかなり難しい作業になります。なぜかというと、管の3次元的な湾曲の状態、入口から何ミリの位置で、どの方向へ何度ぐらい曲がっているのか、そこから更に何ミリ奥が別のどんな方向に何度曲がっているのか、・・・を頭の中でイメージし、そのイメージに合わせて、ファイルと呼ばれる針のように細いやすりを歯に根の中の管の中へ入れ、汚れを搔き出さなければならないからです。
卒業したての歯科医師に、指導することが時々ありますが、3次元的な形状を頭の中でイメージできない人の方が多いです。これを、抜去歯牙を使って練習して、3次元的な湾曲をイメージできるように指導するのですが、なかなかイメージできない人の方が多いように感じます。
3次元の形状がうまくイメージできないわけですから、４次元はイメージできないのが普通であると思います。

回答No.6

SI299792

質問の範囲が広すぎて、全てを答えるのは不可能です。４次元超球・クラインの壺は私にもわかりません。一部だけの回答になりますが、ご了承下さい。（それでもあなたが納得するとは思いませんが）

　まず、この図は入れ子になっているように見えますが、そうではありません。中と外の立方体は同じ大きさです。中の立方体は奥にあるので遠近法で小さく見える。絵が３次元方向から見て初めて成立するのと同じで、４次元人が４次元方向から見て初めて成立します。
３次元を２次元に描くには、断面図・展開図・投影図があります。これは投影図です。
超球・クラインの壺は、投影図を描くのは無理っぽい気がします。（球の投影図を描くには、影を付けますが、４次元だとどのような影ができるのか想像できないし、天才が描いたとしても、我々にはわかりません）

　４次元を使えば壁抜けができるのは当然の事、４次元の基本です。２次元にいる限り、四方を囲まれれば脱出は不可能。しかし上はがら空き、上へ登れば行けば脱出ができる。上を見る事ができない人から見れば、壁抜けしたように見えます。
＞認識に頼らずでたらめに動けば抜け出せるのか。
これは無理、四方が囲まれていて上から脱出しようと思えば、上を見る能力・上る能力が必要です。どちらも我々は持っていません。地面をいくらでたらめ歩いていても、上へ行くのは不可能です。（実は子供の頃、でたらめに歩けば４次元へ行けるのではないかと考えた事があります）

　物理学では（時間軸は無視します）、他の次元は閉じていると説明しています。例えば針金（パイプでもいい）１次元的な広がりしかありませんが、拡大すると３次元。つまり他の次元は存在はするが広がっていない。壁抜は無理っぽい。
　数学では、４次元も無限に広がっている前提で話を進めます。理論が全て、現実などどうでもいいのです。その代わり理論が成立しないものは認めません。現実に壁抜けが不可能だから壁抜けは不可能という結論は、数学では許されません。それをナンセンスといったら、数学そのものが成立しなくなります。

　音波も電磁波も、３次元から抜け出せません。特に音波は空気の振動。音波が４次元という事は４次元方向にも空気があるという事になります。
　もし、音波や電磁波が４次元に広がっているなら、観測と計算で出すことができます。音も光も、強さは距離の２乗に反比例しています。これは、広がった面積に反比例しているのです。もし、４次元方向にも広がっているなら、距離の３乗に反比例します。

　エコーロケーションの経験があっても無理です。エコロケーションは、音を使ているというだけで、原理は視覚と一緒。２次元から３次元を組み立てます。４次元人を理解するには、壁抜けができる理由・あなたが上げた画像を理解する能力が必要です。これ以上の画像を作るのは不可能だと思います。（私はこの画像を見て感動しました。と同時に４次元を理解するのは無理と思いました）

　画像は、上から見れば立方体だと解りますが、２次元方向から見ている限り、大きなの四角中に、小さな四角があるようにしか見えません。

お礼

音波も意味がないというくだりで音波の式が3乗ではないということにとても合点がいきました。
でたらめに歩いても、たとえそれが酔っ払ってて前後不覚によるものでも四次元方向にはたどり着けないんですね。
ひとつ、ブラウン運動はランダムな粒子の動きとされていますが、あれとトンネル効果は素人考えですが関係あるのかなと直感しました。「ランダムに動いたこと」によって偶然「四次元方向」に動いて行われた壁抜けの実例なのではないかと。はは、妄想が過ぎましたかね。

回答No.5

Nakay702

点を使って線を作ることはできませんが、それらしく見えるものを作ることはできますね。たくさんの点を一直線上に密に打てば、線のように見えます。線を使って面を作ることはできませんが、それらしく見えるものを作ることもできますね。たくさんの線を横に密に並べれば、面のように見えます。平面を使って立体を作ることはできませんが、この場合も、それらしく見えるものを作ることはできますね。平面上に、陰影や遠近法を駆使して絵図を描けば、立体図のように見えます。ということで、今ここで、２次元（平面）に視点を据えて次のようなことを考えてみます。もし、この２次元（平面）を「非２次元的なもの」に変えたければ、後退して１次元（線）を描けばいいし、前進して３次元（立体）を描けばそれで用は足りますね。ところが、今度は、３次元（平面）に視点を据えて考えてみます。もし、この３次元（立体）を「非３次元的なもの」に変えたければ、後退して２次元（平面）を描けばそれで用は足りますね。しかし、前進して４次元（多元立体？）を描こうとすると…どうしましょう？ 描けません。なぜか。
４次元世界は経験したことがないからでしょう。経験したことのないものは、「外挿法」を用い、想像・推測・仮説などを駆使して考えたり描いたりするしか方法はありません。そして、それを考えるための最善の方法は、その道の先端的知見を頼りにすることだと思います。それゆえ私は、しばしばアインシュタインの「相対性理論」を引き合いに出させてもらうわけです。その結果、私は上で「４次元（多元立体？）」とした（？）の部分に代えて書き入れるにの最も適した術語として、「４次元（時空体）」と呼ぶのがよいと思います。
今後も引き続き、天文学や物理学の先端的知見を頼りにした「時空体」、すなわち、「時間と空間の結合した４次元世界」の実態に、できる限り肉薄していきたいと考えています。

回答No.4

watanabe04

飛行機に乗ったことがない人間にとって
つまり地上を２次元的に移動している人間にとって
山やビルを高さのあるものを航空写真的な３次元としては
捉えにくいものであると同様に３次元で暮らすものが４次元は
捉えにくいものです。

回答No.3

Snake-In-Bosom（@kairisaga）

「4次元をイメージで捉えて納得しようとする」時点で、色々無理があると思います。1次元世界の住人には2次元世界は見えないし、2次元世界の住人には3次元世界は見えない、3次元世界の住人には4次元世界は見えない、
ご質問者様は色々と長文で説明されていますが、それは単に「視覚的にイメージしたものを言葉で綴っているにすぎない」ですよね。視覚という3次元世界の概念で4次元「っぽい」ものを語ること自体が、納得感につながることにはならないんです。
どんなに言葉を並べても、書いてあることは視覚でのイメージにすぎないんです。だから、ムダ。理解したつもりで、理解になっていない。見えない次元の概念を言葉で理解なんて、出来ないです。

数式を使って理解しようとされてはいかがでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。読めばわかると思うのですが、むしろ触覚のイメージが大きいと思っています。

補足

>見えない次元の概念を言葉で理解なんて、出来ない
それはそうなのでしょうか？先天性盲目の人は三次元を理解してないのでしょうか？

回答No.2

m5048172715

日常生活中に、4次元の物体が、目の前に無いからだろうね。もしそれがあったとしてもそれは3次元の物体なので、4次元の物体では無い。

回答No.1

kaitara1

一つの考え方として脳神経細胞のつながりがやはり三次元だからという事はないでしょうか。