ユニタリ作用素

質問

下のL^2(R)→L^2(R)の線形作用素がユニタリ作用素であることを示して欲しいです。

T_af(t)=f(t-a),a∈R
E_af(t)=exp(2πiat)f(t),a∈R
D_af(t)=|a|^(-1/2)f(t/a),a≠0,a∈R

よろしくお願いいたします。

回答No.8

tmppassenger · ベストアンサー

T_a については、

1. 先ず f,g ∈ L^2(R)に対し、
< T_a(f), T_a(g)> = ∫ f(t-a) * {g(t-a)}^* dx
= ∫ f(t) * {g(t)}^* dx （置換積分より明らか） = <f, g>
となって、結局< T_a(f), T_a(g)> = <f, g> （これが内積を保存する、という意味）

（念の為に書いておくと、この時 ||T_a(f)||^2 = ||f||^2 となるので、T_a は有界となる）

2. 更に T_a◯T_{-a} = T_{-a}◯T_a = id, 従って T_aは全射で、T_{-a} = {T_{a}}^-1。

（この時、<f, T_{-a}(g)> = <T_a(f), T_a◯T_{-a}(g)> （内積を保存することは既に確認した） = <T_a(f), (g)> となるから、 T_{-a} = {T_a}^*、つまり T_{-a}がT_aの随伴作用素となる）

従って、T_aはユニタリ作用素である。

補足

とても分かりやすい解答ありがとうございます。
最初の内積を保存するという点について、お聞きしたいのですが、置換積分より明らかというのはt-a=tのような感じで置換したらという意味だと思ったのですが、
内積を保存するという意味では、最初の内積の中の変数と、最後に出てきた内積の変数が異なっていても内積を保存するという意味で使うのでしょうか？

また、（c）で内積の保存を示すためにも、同様にt/a=tのような感じで置換積分すると考えたのですが、絶対値が付いているため、上手く示せないのですが、考え方が間違っているのでしょうか？

教えていただいたおかげで、(b)の問題や、（c）の逆作用素を求めることが出来ました。
ありがとうございました。

何度もご質問して申し訳ありませんでした。

回答No.1

tmppassenger

それぞれの作用素が逆作用素を持ち、かつ内積を保存することを言えばいいですが、どの辺が疑問ですか？一度どこまで考えたのか、補足に下さい。

補足

ご回答ありがとうございます。
逆作用素をどのように求めればいいかがわかりませんでした。