ユニタリ行列、直交行列

質問

実行列Aのユニタリ行列（直交行列)Bはどうなるのでしょうか？
例えば、Aが (a,b,c,d)^T であるときのBはどういったものになるのでしょうか？
見当違いの質問でありましたら、申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

phyonco · ベストアンサー

混乱してますね。行列Uがユニタリであるとは、Uの複素共役をとり転置したもの（これをエルミート共役U*と言います）が、Uの逆行列に等しいこと、
U* = U^-1
を言います。Uが実行列の場合、U* = U^T なので、実行列がユニタリとは
U^T = U^-1
すなわち、実のユニタリ行列とは直交行列に他ならないわけです。
これで言葉の意味がわかりました。質問は、Uが２×２の実行列のとき、
これがユニタリーつまり直交行列であるときにどういう形をしている
べきか、というものだったのではありませんか？２×２の転置はとれます
ね？逆行列は書き下せますか？それらを等しいと置けば、各要素がどんな
もので、どういう関係にあるべきかが分かるはずです。

回答No.3

jamf0421

すでに答えが出ているものに同じようなことを書くようですが、Aのユニタリ行列（直交行列）という表現はありません。Aはユニタリ行列（直交行列）であるかないか、ということしかありません。
Aという行列を転置し、複素共役をとったものを随伴行列といい、これをA*と書きますと、A*A=E（Eは単位行列）ならAはユニタリ行列です。（No1さんがA*をうっかりされてエルミート行列と書かれていますがNo2さんのエルミート共役が正しいです。）実数のユニタリ行列が直交行列です。定義からユニタリ行列の逆行列は随伴行列になることがわかります。Aが実数だけで構成されているなら逆行列は転置行列になります。逆行列がすぐにわかりますね。
因みにA*=Aになる行列をエルミート行列と申します。

回答No.1

e_o_m

Aがユニタリー行列とは
AA*=A*A=I
（A*はAのエルミート行列
エルミート行列はAの転置とって複素共役をとったもの）
となる行列のことをいいます。

またAが実行列であるときのユニタリー行列は、直行行列といい
AAt=AtA=I
（AtはAの転置行列）
をみたす行列です。（先ほどの複素共役を抜かしただけです）