多変数関数

質問

多変数関数の微分法について質問です。p98の①はxとyが0に近づくということで、②はrが0に近づくということでしょうか？また、③はなぜそうなるかを教えて頂きたいです。

回答No.1

gamma1854

x=r*cosθ, y=r*sinθ .... (3, 1, 1)
ですから、(3, 1, 2) について、
(x, y) → (0, 0) であれば、{r → 0} or {cosθ→0 and sinθ→0}.
ですが後者は不成立。
逆に、r → 0 であれば、(x, y) → (0, 0) は明白。
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点(x, y)が直線 L : y=mx (m≠0) に沿って原点Oに近づくときは、
xy/(x^2+y^2)=x*mx/{x^2+(mx)^2}=m/(1+m^2).
ゆえ、L の傾きにより違う点 m/(1+m^2) に近づく。