＞sin(Y-π/6)≧1/2までは出たのですが……
いわゆる「三角関数の合成」をして，sin(Y-π/6)≧1/2を得たのですね。ならば正しい方向に進んでいます。（１）で，cos(2x-y)≧1/2から2x-yの範囲を求めるのに「単位円」を描いて考えませんでしたか。それと同じです。単位円を描いて，Y-π/6の範囲を求めればよいのです。
ただし，あらかじめ必要な作業があります。それは，xとyの変域からx+2yの変域を求めておくことです。
（１）でも条件から考えられる変域-(π/2)≦2x-y≦πを求めておいて，その中での不等式を満たす2x-yの範囲を答えましたね。
※（補足）（１）は解けているようですので，老婆心ながら……「不等式は辺々加えることはできますが減ずることはできません」ですから，（１）での2x-yの変域を求める際には
0≦x≦π/2,0≦y≦π/2
0≦2x≦π,-π/2≦-y≦0
辺々加えて
-π/2≦2x-y≦π
この範囲でcos(2x-y)≧1/2を満たす2x-yの範囲を求めたのですね。
本題に戻ります。（補足）に述べたような方法でまず0≦x+2y≦3π/2を求めておきます。
つまり0≦Y≦3π/2，-π/6≦Y-π/6≦4π/3
この範囲でsin(Y-π/6)≧1/2を満たすY-π/6を求めるのです。
（見やすいようにY-π/6=θと置き換えても良いですね）
単位円を描いて調べると，π/6≦Y-π/6≦5π/6であることがわかります。各辺にπ/6を加えて
π/3≦Y≦πを得ます。つまり
π/3≦x+2y≦π ……（２）の答
（３）は（１）で得た-π/3≦2x-y≦π3……①と（２）で得たπ/3≦x+2y≦π……②を使いましょう。
①*2+②と，①+②*（-2）を計算すれば，x,yの範囲が出ますので……
※xを消去するのにπ/3≦x+2y≦πの各辺に-2をかけて加える理由はお分かりですね。辺々加えることはできますが引き算は出来ないからです。
（3＜5，1＜8 辺々引いて2＜-3これはおかしいでしょう）
お礼
丁寧に教えていただきありがとうございました。