数学の問題について

質問

(1) y=cos²θ+sinθ+1の最大値を求めよ
(※但し、0<θ<2πとする)

という問題があるのですが、この問題の前に
(2) y=2sin(x－π/2)+2のグラフを書け、という問題があります。
これは(1)と(2)を関連づけて解く問題なのでしょうか？
どちらも解らず困っています。
ご回答お待ちしております… 。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

y=(cosθ)^2+sinθ+1
=1-(sinθ)^2+sinθ+1
=-(sinθ)^2+sinθ+2
=-(sinθ-1/2)^2+9/4
だから最大値は9/4
なお最大値となるのはsinθ=1/2すなわちθ=π/6または5π/6のときです。

グラフを描く問題は(1)とは関係なく解けます。
y=sinxのフラフをx軸の方向に1/2だけ平行移動して、y軸の方向に2倍に拡大して、その後y軸の方向に2だけ平行移動させたグラフをかけばよい。

お礼

関連しては無いのですね。グラフの説明までして頂き誠に有難うございます。

回答No.3

kiha181-tubasa

（１）は、二次関数と三角方程式の融合問題ですね。
cos^2(θ)＝１- sin^2(θ)
であることを利用して
y=１- sin^2(θ)+sinθ+1
y=- sin^2(θ)+sinθ+2
となります。
ここでsinθ=t とおくと、
y=-t^2+t+2 （ただし、-1≦ t ≦1 ）
となり、2次関数の最大値を求める問題になります。
途中は略します。計算してください。

そして
最大値をとる t の値は t=1/2 で
この時 sinθ=1/2 (ただし 0<θ<2π）からθを求める三角方程式となります。
グラフを利用するより、単位円で求める方が楽でしょう。（教科書を参照）

（まわりくどかったですか？）

（２）はx軸方向とｙ軸方向の平行移動をしたグラフを描く問題です。（１）とはまったく無関係です。
教科書をよく読んでトライしてください。
※　xy平面上に、直線x=π/2,y=2 を赤線で引いて、その交わる2直線があたかもx軸y軸であるように考えてさり気なくy=sinθのグラフを描くとやりやすいでしょう。

※（老婆心ながら…）　問題集を解いていて解けない問題があったとき、模範解答集に頼るのは誤った方法だと思います。自分たちが学習した教科書に戻って調べるのがベストな方法だと思います。模範解答集に頼っているうちは学力が伸びません。教科書に戻って解りなおしをするのが結局は早道です。

お礼

ご回答の程、誠に有難うございます。
問題解決の糸口とアドバイスまで頂き大変感謝しております。
自力でも解答に導き出せるよう今後も努めていきたいと思います。

回答No.2

noname#231998

(1)
dy/dθ=cosθ(1-2sinθ)
これから増減表を作成すると、θ=π/6と5π/6のときにyは極大値をとることがわかります。
θ=π/6のとき、y=cos²π/6+sinπ/6+1=3/4+1/2+1=9/4
θ=5π/6のとき、y=cos²5π/6+sin5π/6+1=3/4+1/2+1=9/4
よって、yの最大値は9/4
因みに、θ=0とすると、y=cos²0+sin0+1=1²+0+1=2＜9/4
また、θ=2πとしても、y=cos²2π+sin2π+1=1²+0+1=2＜9/4

(2)
グラフについては、y=sinxのグラフをx軸方向に+π/2平行移動したものを、y軸方向の上下に2倍し、さらにy軸方向に+2平行移動します。
なお、(1)との関連性はありません。

お礼

関連性はないのですね。
何から何まで細かくご説明くださり誠に有難うございます。