数学の大小比較問題です。

質問

（１）任意の正の実数xに関して２＾ｘ＜３＾ｘを示せ。
（２）ｘ、ｙに関する連立方程式y=3x　 2^x・3^y=2y を満たす整数x y は存在しないことを示せ。

２番の解説をお願いします。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

この問題の出題者は当然最初の設問の結果を利用して次の設問を解かせたいのだと思いますが、最初の設問を利用しない解法を考えてみました。

y=3x …（１）
2^x・3^y=2y　…(2)

x=y=0 は(2)を満たさない。（１）よりxyは同符号となるが、2^x>0,3^y>0 より　 2^x・3^y=2y>0　だから　
(1)(2)が共通の整数解を持つとすれば、x、yがともに正の場合に限られる 。よってともに正の整数解を持つと仮定する。

(2)の両辺を２で割って　2^(x-1)・3^y=y　…(2）'

ここでx≧1と(1）からy≧3であり、このとき3^y>yである。　…(注）

またx≧１ より　2^(x-1)≧1　だから　2^(x-1)・3^y>y　すなわち2^x・3^y>2yとなり（２）と矛盾する。

よって(1）(2）は共通の整数解を持たない。

(注）はグラフを描けば明かですが、理由を示しますと、
f(y)=3^y-y とおく。
f'(y)=（3^y)(ln(3))-1
f(3)=24>0 かつ　y≧3 のとき　f'(y)>0 だから
y≧3 のとき　f(y)>0 すなわち　3^y>yである。

回答No.1

noname#199771

yを消去して得られる不等式の否定（6x<2^(4x)）を
数学的帰納法を使って示すのが楽です。
途中で(1)を使います。

詳細は書かないので自力でどうぞ。

別解）指数の底を変換して微分法を使うという手もあります。
この別解によって整数という条件は大まかすぎるいうことがわかります。