数学の問題です

質問

大学数学の問題です。
分かる方いらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

(1)
正p角形のひとつの内角の大きさは
180° - (360° ÷ p)
である。
正多面体のひとつの頂点にq個の正p角形が集まっているので
{ 180° - (360° ÷ p) } × q < 360°
という不等式が成立する。この不等式の両辺を360で割ると
{ (1/2) - (1/p) } × q < 1
さらにqで割って
(1/2) - (1/p) < (1/q)
移項して
(1/2) < (1/p) + (1/q)
といえる。

(2)
pは3以上の整数である。（正多角形の辺の数なので）
qは3以上の整数である。（立体のひとつの面に集まる辺の数なので）
(1) で得られた不等式に、pの値を順に代入していく。

・p = 3 のとき
(1/3) + (1/q) > (1/2)
(1/q) > (1/6)
よって
q = 3 , 4 , 5

・p = 4 のとき
(1/4) + (1/q) > (1/2)
(1/q) > (1/4)
よって
q = 3

・p = 5 のとき
(1/5) + (1/q) > (1/2)
(1/q) > (3/10)
よって
q = 3

・p = 6 のとき
(1/6) + (1/q) > (1/2)
(1/q) > (1/3)
よって、条件をみたすqは存在しない。
（p = 7 , 8 , …でも同様）

以上より
(p , q) = (3 , 3) , (3 , 4) , (3 , 5) , (4 , 3) , (5 , 3) …答

※順に、正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体 に対応します