∫sinθdθ=2 (積分範囲-∞→∞) は正しい？

質問

以前、∫(-∞→∞)sinθdθ=2という質問がありました。一見したところ、こうなるわけがない感じがするのですが、必ずしもそう言えないようです。Riemann-Liouville fractional integralは
　(1/Γ(α))∫(a→x)dy f(y)/(x-y)^(1-α)
で定義されます。a=-∞, 0<α<1とすると
　(1/Γ(α))∫(-∞→x)dy sin(y)/(x-y)^(1-α) =sin(x-πα/2)
ここでα=1, x=0とすると
　∫(-∞→0)dy sin(y) = -1
よって、
　∫(-∞→0)dy -sin(y) +∫(0→∞)dy sin(y) =2
となって、∫(-∞→∞)dy sin(y) =2 とかなり近くなります。場合によっては、∫(-∞→∞)dy sin(y) =2 となることもあるのでしょうか。

回答No.5

siegmund

grothendieck さん，お久しぶりです．

> 物理では収束しない積分を収束する積分で置き換えてから
> 極限をとることはしょっちゅうあります。

一番普通の収束因子は exp(-λ|θ|) でしょうね(λ>0)．
これを入れると
(1)　　∫(0→∞) sinθ exp(-λ|θ|) dθ = 1/(1+λ^2)
ですから，積分後にλ→0 とすると，１になりますね．
うまく行っているように見えますが，
-∞→∞ にすると奇関数でゼロになっちゃいます．
やっぱり元が奇関数ですから，
適当な操作で積分が収束するようにしてもなかなか奇関数の呪縛からは
逃れられないようです．

有名な積分
(2)　　∫(0→∞) {sin(ax)/x} dx = π/2　　(a>0)
の両辺を a で微分して(順序交換して良いかどうかは知らん顔して) a=1 とおくと
(3)　　∫(0→∞) sin x dx = 0
ですね～．

う～ん．

grothendieck さんにとっては釈迦に説法のことしか書いていませんね～．

お礼

ご回答ありがとうございます。∫(0→∞) sin t dt については次のような計算法も考えられると思います。階段関数
　θ(t)=(1/2πi)∫(-∞→∞)dx exp(itx)/(x-iε)
を導入して積分順序を交換すると
　∫(0→∞) sin t dt =∫(-∞→∞)dt θ(t)sin t
=(1/2πi)∫(-∞→∞)dx/(x-iε) ∫dt sin t exp(itx)
=(1/2πi)∫(-∞→∞)dx[iπδ(x-1)-iπδ(x+1)]/(x-iε)
=1
何通りかの方法で∫(0→∞) sin t dt=1　となることはこの結果の普遍性を示唆しているような気がします。しかしやはり∫(-∞→∞) sin t dt=2 にはならないように思えます。

回答No.4

inazu

0<α<1の条件のもとの話で,途中からα=1として計算している意味がわかりません．数学的に矛盾しているような…
奇関数の定義なら,0になる？

お礼

ご回答ありがとうございます。物理では収束しない積分を収束する積分で置き換えてから極限をとることはしょっちゅうあります。

回答No.3

d-kanai

∫(-∞→0)sinθdθ=-1
∫(0→∞)sinθdθ=1
で、
∫(-∞→∞)sinθdθ=0
となるような気がするのは僕だけ？

かなり自信無しなので、何もつっこまないでください。

それに、∞をxに置き換えて、
∫(-x→x)sinθdθ=-cos(x)+cos(-x)
=-cos(x)+cos(x)
=0
ってなる気がするんだけどなあ。

それとも、はさみうちの定理で、何かできるのかなあ。

お礼

ご回答ありがとうございます。Cauchyの主値をとれば
　P∫(-∞→∞)sinθdθ=0
となります。

回答No.2

noname#9431

>上に書いたように∫(-∞→0)sinθdθは、ある意味のある定義では-1となるのです。

えっと、見当違いのことを言っていたら申し訳ないですが、質問の局限操作

>ここでα=1, x=0とすると

は本当は許されないものですよね。たぶん。
この操作を許してそれでもって積分が定義されるとみなせるとしたら、
同じ正当性で積分範囲を(-2nπ→(2n+1)π)
とした後n→∞としたものとして∫(-∞→∞)sinθdθ
を「定義できる」と言えませんか?
もし前者の定義が後者よりすぐれているとしたら
それは何でしょう？
解析接続というわけでもないようですし。

そもそも∫(-∞→∞)sinθdθ は定義できないのだから、これがなんか1とか2とかになるなんて結論があったら、かならずどこかで「インチキ」やらなきゃならんような気がします。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅れて申し訳ございませんでした。繰り込み理論では運動量の積分にCut offを入れて振幅の和をとった後で、Cut offを無限大に持っていくというような例もあります。しかし積分範囲を(-2nπ→(2n+1)π)にするとすればどういう理由でこれが選ばれたのか明確ではありません。fractional integralは∫(-∞→0)dy sin(y) = -1　にするために定義されているのではありません。整数回の逐次積分を実数に拡張するように定義されているものです。

回答No.1

noname#9431

積分範囲をはじっこでちょっとずらして
-2nπ→(2n+1)πとでもして
積分してからnを∞に持って行けば2になるのでは?
ずらし方によるから
∫(-∞→∞)sinθdθはもともと定義されてないのでは?

お礼

ご回答ありがとうございます。∫(-∞→∞)sinθdθも、
∫(-∞→0)sinθdθも通常の定義では、存在しません。しかし、上に書いたように∫(-∞→0)sinθdθは、ある意味のある定義では-1となるのです。積分範囲を-2nπ→(2n+1)πとすることにどのような意味があるのですか。