積分について

質問

d/dx{∫[0→x]f(x,y)dy}=f(x,x)+∫[0→x]{∂/∂x(f(x))}dy
と習いましたが、なぜ右辺のようになるのか教えてください。
色々と調べてみて、合成関数の微分を使うとのことでしたがサッパリです。
どなたかご存知の方、宜しくお願いします。

回答No.1

jcpmutura

f(x,y)のyによる不定積分を
F(x,y)=∫f(x,y)dy
とすると
∫[0→x]f(x,y)dy=F(x,x)-F(x,0)
(∂/∂y)F(x,y)=f(x,y)
(∂/∂y)F(x,x)=f(x,x)
(d/dx)F(x,0)=(∂/∂x)F(x,0)
(d/dx)F(x,x)=(∂/∂x)F(x,x)+(∂/∂y)F(x,x)
(∂/∂x)∫[0→x]f(x,y)dy=∫[0→x](∂/∂x)f(x,y)dy
だから
(d/dx){∫[0→x]f(x,y)dy}
=(d/dx)F(x,x)-(d/dx)F(x,0)
=(∂/∂x)F(x,x)+(∂/∂y)F(x,x)-(∂/∂x)F(x,0)
=(∂/∂x)F(x,x)+f(x,x)-(∂/∂x)F(x,0)
=f(x,x)+(∂/∂x){F(x,x)-F(x,0)}
=f(x,x)+(∂/∂x)∫_{0～x}f(x,y)dy
=f(x,x)+∫[0→x](∂/∂x)f(x,y)dy