密度関数の多重積分

質問

こんにちは。前回違うことで質問させてもらったのですが、もし宜しければご教授ください。
∫[d,∞]∫[d,x] 1 dy dF(x)
＝∫[d,∞]∫[y,∞] 1 dF(x) dy
と成り立つのはなぜでしょうか？

F(x)はXの密度関数です。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

前もちょっと回答しました。
論点は２重積分のやりかたなのでしょうか？
積分する領域はy≧dかつy≦xのところです。
とりあえず、密度関数というのは抜きにして、一般に関数f(x,y)に
ついて、
∫[d,∞]{∫[d,x]f(x,y)dy}dx
=∫[d,∞]{∫[y,∞]f(x,y)dx}dy
となるのは良いでしょうか。
x,yどちらで先に積分するかということです。
図で考えれば良いと思います。
（ここが問題ならば私にはちょっと書ききれません。微積分の本を
ご確認くださいということでご勘弁を…）

そして、Fは分布関数ということで、fを確率密度関数とすると、
dF(x)=f(x)dxなので、
∫[d,∞]{∫[d,x]1dy}dF(x)
=∫[d,∞]{∫[d,x]1dy}f(x)dx
=∫[d,∞]{∫[y,∞]f(x)dx}dy
=∫[d,∞]{∫[y,∞]dF(x)}dy
=∫[d,∞]{[F(x)](y,∞)}dy
=∫[d,∞](1-F(y))dy
=∫[d,∞]P(X>y)dy
となります。
（F(∞)=lim(x→∞)F(x)=1）

これは、
A(1)+2A(2)+3A(3)+…
=(A(1)+A(2)+A(3)+…)+(A(2)+A(3)+…)+(A(3)+…)+…
=Σ(n≧1)A(n)+Σ(n≧2)A(n)+Σ(n≧3)A(n)+…
のxf(x)への連続版みたいなものですね。
（縦方向に和を取っていくか、横方向に和を取っていくかの違い）

お礼

ありがとうございます。完璧に理解することができました。