複素数の掛け算の考え方について

質問

複素数の掛け算について調べています。
複素数の足し算は平行移動と書いてあるのがあり、平面（ガウス平面）上で図形的にも理解できたのですが、掛け算について「のびちぢみと回転」と書いてあるのですが、どうしてもよくわかりません。
掛け算をすると長さはかけた長さに、角度はあわせた角度になるとも書いてありました。
申し訳ありませんが、平易に教えていただけないでしょうか？
あるいは参考になるサイトがあれば教えてください。

座標から面積を計算する際に複素数の掛け算を使用してできるようなのですが、意味がわかってないもので。
三角形ABCDにおいて（ABCD各点は座標値あります）
電卓の使用方法でですが、
(B-A)×SHIFT CONJG (C-A)
として倍面積を出しており複素数の掛け算と共役複素数を使用しているようです。

回答No.2

noname#21330 · ベストアンサー

x+iyとすると、
√(x^2+y^2)*(x+iy)/√(x^2+y^2)
(x+iy)/√(x^2+y^2)=a+ib
とすると、
a^2+b^2=1
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
を思い出すと、
a=cosθ、b=sinθ
θ=tan-1(b/a)
とおけるのがなんとなくわかると思います。
r=√(x^2+y^2)
とすると、すべての複素数は、
r(cosθ+isinθ)
の形式であらわせます。
q(cosα+isinα)
があったとすると、この二つをかけると
rq(cos(θ+α)+isin(θ+α))---(1)

面積のほうは
(1/2)*rq*sin(θ)の公式を用います。

共役ですので、(1)式は
rq(cos(θ-α)+isin(θ-α))---(1)
虚成分が面積の公式の倍になるのを利用するのだと思います。

お礼

えー展開してみて解いてみました。あってるでしょうか？
r(cosθ+isinθ)×q(cosα+isinα)
=rq(cosθcosα+icosθsinα+isinθcosα-sinθsinα)
加法定理より
=rq(cos(θ+α)+isin(θ+α))

また共役複素数でかけてみて
r(cosθ+isinθ)×q(cosα-isinα)
=rq(cosθcosα-icosθsinα+isinθcosα+sinθsinα)
加法定理より
=rq(cos(θ-α)+isin(θ-α))
この虚の成分はまさしく面積計算の(1/2)*rq*sin(θ)の一部ですね。

四角形ABCDの面積計算（倍面積）ですが、これはまだわかりません。

補足

詳しくありがとうございます。
r(cosθ+isinθ)となるところまではわかりました。
次にr(cosθ+isinθ)とr(cosα+isinα)をかけて、
rq(cos(θ+α)+isin(θ+α))---(1)となるところまでの間の過程を教えて欲しいです。
加法定理か何かですか？

共役とはa+biとa-biのことですよね。
（1）の場合の共役はrq(cos(θ+α)-isin(θ+α))ではないのですか？
根本的に複素数の自分の考え方がどこか間違ってます・・・

この場を借りてもうひとつ。（すいません）
四角形ABCD(AとC、BとDは対角上です)の倍面積で、
(C-A)×SHIFT CONJG (B-D)となるのも御教授お願いしたいのですが。
対角上の差（言い方がおかしいかもしれません）の積でいけるようですが。（一方は共役複素数ですが）

回答No.4

noname#21330

申し訳ありません、四角の方はgive upします。
どう考えてもそうなりません。
こちらに関しては、別途、質問されることをお勧めします。

お礼

すいません。
こちらの書き方が悪いような気がします。
またいろいろ教えてください。
複素数なんて15年ぶりくらいなもんで（大学受験の文系数学以来です）
ありがとうございました。

回答No.3

noname#21330

はい、加法定理であっています。

それより、(B-A)×SHIFT CONJG (C-A)
を詳しく教えて下さい。だいたいＤが出てこないので、
何を求めてるやら？

三角形ＡＢＣなら、Ａを原点とした複素数は、
Ｂ－Ａ、Ｃ－Ａ
従って、
（Ｂ－Ａ）×共役（Ｃ－Ａ）
の虚数部で倍面積出ますが。

補足

遅くなりました。
すいません。
最初に書いた(B-A)×SHIFT CONJG (C-A)は三角形ABCにおいての面積計算で書いた算式が倍面積になるということで書かせてもらいました。
（各点のｘｙ座標を複素数のa+biの形で考えて）

これを四角形ABCD(AとC、BとDは対角上です。）の倍面積を一発で計算するのに、
(C-A)×共役(B-D)で計算できるみたいですが、なぜそうなるかわからないんです。
三角形の場合はわかったのですが・・・
四角形ABCDを二つに分けて三角形ABCと三角形ACDにわけて足したらでるのですが、この一発でだす式の理由がわからないんです。
対角線上の差を掛け合わせたら（一方が共役複素数ですが）なぜ倍面積でるのか。
こんな書き方でわかるでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

N64

複素数を x+iy として、x+iy = r x e^(iθ) とすると、
x=r cos(θ) , y= r sin(θ)　となります。
r は長さです。
二つの複素数　x1+iy1 と x2+iy2 をかけると、
その積は、上の式の右辺を見ながら、
r1 x r2 x e^ i(θ1+θ2) となります。
それゆえ、長さはかけた長さに、角度はあわせた角度になります。

お礼

ありがとうございます。
なるほど極座標で考えるんですね。