群数列教えてください

質問

群数列　|1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|21,・・・　において
(1)第ｎ群の最初の数をｎを用いて表せ
(2)第ｎ群に含まれる数の和を求めよ
(3)351は第何群の何番目の数か

群数列　|1|1,2|1,2,3|1,2,3,4|1,・・・　において
(1)この数列の第100項を求めよ
(2)初項から第100項までの和を求めよ

群数列　1|2,3|4,5,6,7|8,9,10,11,12,13,14,15|16,・・・　において
(1)第15群の4番目の数を求めよ
(2)第ｎ群に入る数の和を求めよ
(3)1000は第何群の何番目の数か

どれか１つでもいいので、
できれば細かいところまで詳しく解き方を教えてください。
どうしたらいいのか見当もつきません．．．

回答No.4

zabuzaburo · ベストアンサー

群数列は普通の数列と比べて何が難しいのか？
ということを、少し立ち止まって考えてみましょう。
第1問の(1)が「第n項を求めよ」なら易しいのに
「第n群の最初の数を求めよ」なんていうからややこしい。
第2問の(1)が「第7群の第5項を求めよ」とかなら易しいのに(5ですね)、
「第100項を求めよ」と来るから難しい。
第3問も第1問と同様ですね。

普通の数列であれば「全体を通して第■項」という表現しか登場しないのに、
群数列ではこれに加えて「第●群の第▲項」という表現を扱う必要があるために、
その分だけ難しく映ってしまうわけです。
ですから、群数列を得意にしてしまう秘訣は、
「『第●群の第▲項』⇔『全体を通して第■項』」
という相互変換に習熟することです。
言わば「ローカル番号」と「通し番号」の言い換えですね。

ここで重要なことは、
「この変換はあくまで『番号』と『番号』の間の言い換えであり、
その項の中身の値は関係ない」
ということです。
まずは項の中身を無視して番号に集中し、中身はその後で考えれば良いのです。
群数列を苦手とする人は、この辺りをごちゃ混ぜにして、
自分でわざわざ問題を難しくしてしまう傾向があります。

さらに具体的なコツを述べるとすれば、
いきなり『第●群の第▲項』を扱おうとすると
●と▲の2つを同時に考えないといけなくなるので、
まずは『第●群の末項』について考えることをお勧めします。
すなわち、
『第●群の末項』⇔『全体を通して第■項』
という変換だけを最初に考えるわけです。

第3問を使って実際にやってみましょう。
「まずは中身を無視する」ということを強調するために、
各項を「・」で表すことにします。
・｜・・｜・・・・｜・・・・・・・・｜
例えば第4群の末項の通し番号は、
「第1群から第4群までの項数の和」に等しく、
第(1 + 2 + 4 + 8)項 = 第15項となることが分かります。
一般に、各群の末項は
通し番号が気持ち良く求まることが多いのです。
鍵を握っているのは「各群の項数」であり、これを書き並べると
1個, 2個, 4個, 8個, 16個, ……
となりますが、これ自体が1つの数列をなしています。
そして、もとの数列の第k群の末項の通し番号を知りたければ、
この新しい数列の第k項までの和を取ってやれば良いことが分かります。
この場合、「初項1・公比2の等比数列」であり、
和は (2^k) - 1 となりますから、
『第k群の末項』⇔『全体を通して第 (2^k) - 1 項』……(*)
という変換が達成されました。

さて、ローカル番号と通し番号の変換ができたところで、
ようやく中身の値(一般項)を考慮に入れます。
このとき、第1問と第3問のように、
通し番号のほうが一般項を求めやすい場合もあれば、
第2問のようにローカル番号のほうが役に立つ場合もあります。
この違いはどこから来るのかというと、
第1問や第3問ではいったん仕切り棒を取り去ってしまったら、
どこに仕切り棒があったのか分からなくなってしまいますね。
これに対し第2問は、かりに仕切り棒が問題に書かれていなくても、
自分で仕切り棒を書き加えることができるはずです。
それはともかく、いま取り組んでいる第3問は
通し番号で第p項の値はpそのものですからラクちんです。

準備完了です。

(1)第15群の第4項の値を求めよ。
まずはローカル番号を通し番号に変換します。
「第15群の第4項」を言い換えると、
「第14群の末項のさらに4項あと」となります。
(*)を用いると「第14群の末項」⇔「通し番号で第 (2^14) - 1 項」となりますから、
さらにその4項あとは [(2^14) - 1] + 4 より、第16387項です。
したがってその値は16387です。

(2)第n群に入る数の和を求めよ。
第n群は項数2^(n - 1)、公差1の等差数列ですから、
あとは初項と末項を求めれば計算できます。
第n群の初項は「第(n - 1)群の末項の次」であり、通し番号では
[2^(n - 1) - 1] + 1より第2^(n - 1)項です。したがってその値も2^(n - 1)です。
同様にして、第n群の末項は(2^n) - 1となります。
以上より、第ｎ群に入る数の和は「(初項 + 末項) × 項数 ÷ 2」により
[2^(n - 1) + (2^n) - 1][2^(n - 1)]/2 となります。
n = 3, 4あたりで検算してみてください。

(3)1000は第何群の何番目の数か。
これが「1000は通し番号で第何項か」なら易しく、第1000項です。
あとはこれをローカル番号に変換するだけです。
ある群の末項にぴったり一致するとは限りませんから、
まずは適当に試してみましょう。
(*)より、第10群の末項なら (2^10) - 1 で第1023項、ありゃ、行き過ぎた。
その前の第9群の末項なら第511項。
というわけで
「第1000項」
⇔「第511項のさらに489項あと」
⇔「第9群の末項のさらに489項あと」
⇔「第10群の第489項」
となります。

お礼

考え方とかまで詳しく教えて下さってどうもありがとうございます。
とても分かりやすくて助かりました。
数列はとても苦手なんですが、自分でちゃんと解けるよう頑張ります。

回答No.3

Mell-Lily

〔1〕
(1)
この群数列は、奇数の数列
　{a_m|a_m=2m-1,m∈N}
を自然数の数列の個数に区切ったものです。第(n-1)群までに
　Σ[K=1～n-1]k = n(n-1)/2
個の奇数が含まれます。よって、第n群の一番最初の数は、
　n(n-1)/2+1
番目の奇数ですから、
　2{n(n-1)/2+1}-1 = n(n-1)+2 = n^2-n+1 … (答え)
(2)
第n群に含まれる数は、初項がn^2-n+1で公差が2の等差数列の初項から第n項までです。よって、
　n{(n^2-n+1)+(n-1)2/2} = n^3 … (答え)
(3)
351が第x群の数とすれば、
　x^2-x+1 < 351 < (x+1)^2-(x+1)+1
　∴ x^2-x-350 < 0, x^2+x-350 > 0
　∴ (-1+√1401)/2 < x < (1+√1401)/2
　∴ 18.21… < x < 19.21…
　∴ x = 19 (∵x∈Z).
第19群の最初の項は、19^2-19+1=343であるから、(351-343)/2=4より、351は、
　第19群の4番目の数 … (答え)

【考え方】
まず、群数列の成り立ちを認識します。第2問目の場合、第n群は、自然数の数列の初項から第n項までを含みます。第3問目の場合、自然数の数列を初項1、公比2の等比数列で区切っています。

回答No.2

Rossana

(1)まず、他の群と比較して何か法則性があるかどうかじっくり考えてみると、
　　　　　『第n群にはn個の項が含まれる』…＊
という法則が成り立っています。

　次に、しきり棒||を外した時どんな数列になっているか考えます。すると、これは初項1、公差2の等差数列ですね。従って、仕切り棒をとったとき一般項a_nは
　　 『a_n=1+(n-1)・2=2n-1』…＊＊
と表せます。
この二つに注目して考えればよいのです。

　本題に移ります。たとえば、第４群の最初の数は何かを求める前に、『第４群が仕切り棒をとったとき何項目か？』を求めてください。それには＊を使います。それは
　　　 1+2+3+1=7(項目)
ですね。ですから、＊＊をつかって
　　　　　　a_7=2×7-1=13
と求まります。
　では、同じように第n群の最初の数は第何項目かを求めると、
1+2+…+(n-1)+1=(n-1)/2×{1+(n-1)}+1
=n(n-1)/2+1(項目)
となるので、＊＊から
　　　a_n(n-1)/2+1=2×{n(n-1)/2+1}-1
=n(n-1)+2-1=n^2-n+1
が求める数です。
(2)第n群は(1)の結果と＊を使うと
　　『初項n^2-n+1、項数nの等差数列』ですね。
あとはもう簡単！等差数列の和の公式で計算して下さい。
(3)351はまず第k群に含まれるとします。すると、
　第k群の最初の数から第k+1群の最初の数までの間に存在するので、　　◎|○,…,○|●
　　(1)の結果を使うと、
第n群の最初の数はn(n-1)+1だから、
　　　第k群の最初の数はk(k-1)+1　
第k+1群の最初の数は(k+1)k+1
となり、
　　　　　　k(k-1)+1<=351<(k+1)k+1
⇔k(k-1)<=351<(k+1)k
これに適当に自然数kを当てはめていくと、k=19がこの不等式を満たしますね。これから、
　　 第k群の最初の数はk(k-1)+1=343　　
で、分かりやすく実際に書くと
,|343,345,347,349,351,353,…,379|,
となるので、
　　　　　351は第19群の5番目の数だと分かります。
あと、他の問題も同じように

　　　　　『第n群の項数は何個か？』

　　　　　『どんな数列か?』
に着目すれば自分で解けると思います。頑張って下さい。
自分でやっても分からないところがあれば補足に質問して下さい。

お礼

詳しく回答してもらってどうもありがとうございます。
『第n群の項数は何個か？』『どんな数列か?』 に着目ですか．．．
数列とても苦手なんですが自分でも解けるように 頑張ります。

回答No.1

kony0

どれも第ｎ群には、ｎ個の要素が含まれているのですね。
ということは、第○項の要素は第□群に含まれているかを求めることがポイントです。
つまり、第ｎ群の終わりがΣ_(i=1,2,...,n)i = (1/2)n(n+1)番目の要素であることに注目します。・・・[*1]

ちなみに、第ｎ群のはじめは{Σ_(i=1,2,...,n-1)i}+1 = (1/2)n(n-1)+1番目です。これは第n-1群の終わりが(1/2)n(n-1)番目であることが[*1]から即座にわかりますから、改めて計算するまでもないです。
［第ｎ群の終わりまでの項数をf(n)とすると、第n-1群の終わりまでの項数はf(n-1)，第ｎ群のはじめまでの項数はf(n-1)+1となります。f(・)の使い方もついでになじんでください。］

ということで、あとはこれをもとにがむばってほしいところです・・・解答ならばチャート式等で類似問題のものはあるはずですので。

ご自分で考えてみてもわからない等あればその旨書いてください。きっと誰か答えてくれます。（タイミングがあえば私も答えますが）