場合の数・集合・情報

質問

ご協力おねがいします。

1.600以上1000以下の自然数のうち、次の数の個数を求めよ。
①8で割りきれない数
(350？)
②8または20の少なくとも一方で割り切れる数
2.次の場合の数を求めよ。
①和が 15 になる異なる 3 つの自然数の組(順序は考慮しないものとする)は何通りあるか。
②11 人から代表 1 人、副代表 1 人、書記 3 人の計 5 人を選ぶとき、選び方は何通りあるか。
③1 から 8 までの自然数が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードから、1 枚ずつ 4 枚選び、取り出した順 に並べて 4 桁の数を作るとき、4000 未満の数は何通り作れるか。

数学ではありませんが、情報理論の問題を添付しています。解ける方がいらっしゃいましたらそちらもお願いしたいです。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

大問1
(1)1以上1000以下の自然数のうち、8で割り切れるのは125個
8で割りきれないのは875個
1以上599以下の自然数のうち、8で割り切れるのは74個
8で割り切れないのは525個
求める個数は875 - 525 = 350個

(2)1以上1000以下の自然数のうち、8で割り切れるのは125個
20で割り切れるのは50個、8でも20でも割り切れる（40の倍数）は25個
8または20の少なくとも一方で割り切れるのは125 + 50 - 25 = 150個
1以上599以下の自然数のうち、8で割り切れるのは74個
20で割り切れるのは29個、40の倍数は14個
8または20の少なくとも一方で割り切れるのは74 + 29 - 14 = 89個
求める個数は150 - 89 = 61個

大問2
(1)
3つの自然数をx, y, zとすると、x + y + z = 15より
(x - 1) + (y - 1) + (z - 1) = 12, x - 1 = X, y - 1 = Y, z - 1 = Zとすると
X + Y + Z = 12, X, Y, Zは0以上の整数
12個の○と2本の|をどう並べるかという場合の数に等しい。
求める場合の数は14C2 = 91とおり

(2)
11C1 * 10C1 * 9C3 = 9240とおり

(3)
千の位が1か2か3であればよい。
千の位 = 1のとき
百の位、十の位、一の位の選び方は7P3 = 210とおり
千の位 = 2, 3のときも同様
求める場合の数は210 * 3 = 630とおり

回答No.3

asuncion

大問2(1)
求める自然数の組を(x, y, z)とする。
x, y, zはすべて異なり、かつ順序を考慮しなくてよいから、
x < y < zとしてよい。
i)x = 1のとき
yは2～6の可能性があり、この(x, y)の組に対して条件をみたすzがただ１つずつ存在する。
ii)x = 2のとき
yは3～6の可能性があり、この(x, y)の組に対して条件をみたすzがただ１つずつ存在する。
同様に、
x = 3のときyは4～5
x = 4のときyは5
となるから、求める場合の数は5 + 4 + 2 + 1 = 12とおり、かな？

回答No.2

asuncion

大問2(1)の回答は無視してください。
「異なる」自然数という条件を考慮していませんでした。