確率の問題より

質問

問題：和が１０になるような３個の自然数の組は全部でいくつあるか。一つの組の中で順序は考えないが、同じ数があってもよい。

この問題の解き方を教えて下さい。
『和が１０になる３個の自然数』の最低値は（１、１、８）ですよね。『同じ組の中で順序は考えない』と言ったら、Ｃを使いますよね。『同じ数があってもいい』とは、一つの組の中の一つに最高８通り入るって事ですよね。・・・だからどうするんですか？回答お願いします。

回答No.3

es32 · ベストアンサー

この程度なら全部並べてみたらいいです。
１組の中の３つの数は同じ値を含めて小さい順番にします。

1 1 8
1 2 7
1 3 6
1 4 5
2 2 6
2 3 5
2 4 4
3 3 4

以上、８通り。

（解説）
４つめの「145」の次は「154」となってしまい、小さい順番ではなく、既に出た「145」と同じです。
７つめの「244」の次は「253」となってしまい、小さい順番ではなく、既に出た「253」と同じです。
８つめの「334」の次は「343」となってしまい、小さい順番ではなく、既に出た「334」と同じです。
「4」から始まるものは全て小さい順番にはならないので既に出たものとなります。

回答No.5

kiriburi

和が10程度なら、#1,#3の言う様に数え上げるのが良いでしょう。
Ｃを使うとすると次のようになるかと思います。

まず、『順序は考えないが』という条件をはずして

(1)和が10になるような3個の自然数の組を考える。
9Ｃ2＝36通り………………………………(A)

(2)3個の自然数が重複する場合
10が3の倍数でないので、ありえない。

(3)2個の自然数が重複する場合…例えば(1,1,8)や(1,8,1)
(10－1)÷2＝4.5→4………………………(B)
4×3!/(2!×1!)＝12通り…………………(C)

(4)重複するものがない場合
36－12＝24通り

(5)ここで、『順序は考えないが』という条件を付けると
2個の自然数が重複する場合は4通り
重複するものがない場合は24÷3!＝4通り……(D)
以上より8通り

詳解
(A)10個の碁石を1列に並べて、その間(10－1＝9の隙間)に2本の鉛筆を置く(碁石を3つの組に分ける)方法と考えれば9Ｃ2通り

(B)『－1』は重複しない数が0ではだめなので。
『4.5』は重複した数の取り得る最大値だが、自然数という条件より4が最大。

(C)3!/(2!×1!)は3個のうち2個重複したときの順列。

(D)3!は重複するものが無いときの3数の順列。

やっぱり数え上げたほうが簡単？

回答No.4

ikkame

すいません、やっぱり、間違えていましたね。順序は考えないので、僕の回答は、重複があります。こういう問題は、順序は考えないと言われただけで、どうしても公式を使わないと解けないと思ってしまいますよね。

回答No.2

ikkame

Cを使わないとだめなのかな？
難しく考えないで、数えたら早く答えがでると思うけど。
一番左が、１の場合は、真ん中と右の数字の合計が９にならないとだめだから、1-8,2-7,3-6,4-5,5-4,6-3,7-2,8-1の８通りあります。
一番左が２の場合は、真ん中と右の数字の合計が８にならないとだめだから、1-7,2-6,3-5,4-4,5-3,6-2,7-1の７通りあります。
一番左が３の場合は、真ん中と右の数字の合計が７にならないとだめだから・・・、６通りあります。
・・・
一番左が８ならば、真ん中の数字の合計が２にならないとだめなので、1-1の１通りあります。

以上より１＋２＋３＋・・・＋８＝８×（１＋８）/２＝３６となります。
最初は、無理して公式を使わない方がいいと思います。ごちゃごちゃになるし・・。一つ一つ数えていくうちに、めんどくさくなり、自然と公式を使うようになります。はじめから公式をつかおうと努力すると、確率の問題は、間違えやすいので注意を。基本は、一個一個数えていく事です。僕も、数学は得意でしたが、初心者のように、一個一個確認していました。
でも、久しぶりなので、答えにあまり自信がないです。
後ほど、もっとよい回答者がでてくるでしょう。
それまでとおもい、回答させていただきました。

回答No.1

ranx

「確率」ではないですね。
「３個の自然数」の中で最大のものに着目しましょう。
最大の数が９の場合、残りの２個の和が１でなければなりません。
これはありえない。
最大の数が８の場合、残りの２個の和が２になります。
これは質問文中にあるケースです。
最大の数が７・６・５・４の場合について、同様に残り２個の和が
求まりますから、「最大の数」を超えない範囲で組み合わせを考えます。
最大の数が３である組み合わせはありません。
以上を合計すれば、目的の数が求まります。