3次方程式

質問

z^5+z-1=0かつ|z|=1をみたす複素数を求めよ。

という問題の解答を読んでいると、5次式を因数分解して
(z^2-z+1)(z^3+z^2-1)=0
となり、z^2-z+1=0の解が|z|=1をみたすことを確認して終わりだったのですが、
なぜz^3+z^2-1=0の解が|z|=1ではないと言えるのかよくわかりませんでした。

簡単に言えることなのでしょうか？(だから解答で省略されているのでしょうか？)
教えてください。

回答No.3

gamma1854 · ベストアンサー

z^3 + z^2- 1 = 0 ... (*)
|z| = 1 とすると z = e^(iφ).
(*) ⇔ { cos(2φ) = 0 and sinφ*(cosφ + 1) = 0 }.
これは不成立。
この経緯を略したのでしょう。

お礼

なるほど……ということは、5次式のむずかしい因数分解など考えずに、最初から
> z = e^(iφ)
としてφの方程式として考えればよかったとも言えるわけですね…。

ありがとうございました。

回答No.4

tmppassenger

z^5+z-1を因数分解する事が難しいかも知れない。

実は、この「z^n + z - 1 = 0」という方程式は、時々見かけて、|z|=1という制約が掛かっていると、うまい方法がある。以下、zの複素共役をconj(z)とかく。

z^5 + z -1 = 0から、z^5 = 1-z。|z|=1から、両辺の絶対値をとって|1-z| = 1。
従って |z|= 1 → z * conj(z) = 1
|1-z| = 1 → (1-z) (1-conj(z)) = 1 。上と合わせて z + conj(z) = 1

従って、根と係数の関係から、z, conj(z)は、t^2 - t + 1の2根となる。

お礼

なるほど…！
こういう仕組みがあったのですね。

ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

すごいのは、
z^5+z-1
を因数分解して
(z^2-z+1)(z^3+z^2-1)
となることによく気づけたな、ということです。

お礼

そうなんですよね…。

回答No.1

asuncion

f(z) = z^3 + z^2 - 1とおいて
微分・増減表からf(z)のグラフをかくと
0 < z < 1の区間で1回だけz軸と交差することが
わかります。
ということは、f(z) = 0の解は
0 < z < 1の1つの実数解
2つの虚数解
となります。これらの解を複素数平面上にプロットすると、
半径が1未満の単位円周上に偏角が0°、120°、240°の3点が
表われます。したがって、単位円の半径が1未満であることから
|z| ≠ 1ということになるのではないでしょうか。

お礼

アドバイスありがとうございます。