合成積(たたみ込み)の問題です。

質問

合成積(たたみ込み)の問題です。

f(x)=e^-a|x| (a>0)とするときf(x)同士の合成積を求めよ。という問題なのですが、解き方がわかりません。特に、積分範囲は-∞から∞からどのように変更していけば良いのでしょうか。
どなたかご教授よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(f*f)(t)=∫[-∞,∞] f(x)f(t-x)dx
=∫[-∞,∞]exp(-a|x|)exp(-a|t-x|)dx
絶対値は場合分けして外しましょう。積分の中ではtは定数として扱います。
x<0のとき |x|=-x
x≧0のとき |x|=x
t≦xのとき |t-x|=x-t
t>xのとき |t-x|=t-x
なので
t<x<0のとき |x|=-x,|t-x|=x-t
x<0かつx<tのとき |x|=-x,|t-x|=t-x
0≦xかつt≦xのとき |x|=x,|t-x|=x-t
0≦x<tのとき |x|=x,|t-x|=t-x

従って,合成積
(f*f)(t)=∫[-∞,∞]exp(-a|x|)exp(-a|t-x|)dx

は以下のように積分区間を分割することにより絶対値を外して行けます。
上述の場合分けをもとに絶対値を外せるように積分区間を注意深く分割して行きますので、よく吟味しながら追ってみて下さい。

まず、積分区間[-∞,∞]を２つに分けます。
=∫[-∞,0]exp(-a|x|)exp(-a|t-x|)dx
+∫[0,∞]exp(-a|x|)exp(-a|t-x|)dx
すると前半の積分ではx≦0,後半の積分ではx≧0になるのでこれに注意して|x|の絶対値を外します。
=∫[-∞,0]exp(ax)exp(-a|t-x|)dx
+∫[0,∞]exp(-ax)exp(-a|t-x|)dx
=I1+I2=Iとおく。

今度は,前半の積分I1の積分区間[-∞,0]をtにより分割します。
t<0のとき[-∞,t]と[t,0]に分割して
I1=∫[-∞,0]exp(ax)exp(-a|t-x|)dx
　=∫[-∞,t]exp(ax)exp(-a|t-x|)dx∫[t,0]exp(ax)exp(-a|t-x|)dx
=∫[-∞,t]exp(ax)exp(-a(t-x))dx∫[t,0]exp(ax)exp(-a(x-t))dx
t≧0のとき x<0≦tなので積分区間は[-∞,0]のままで絶対値が外せて
I1=∫[-∞,0]exp(ax)exp(-a(t-x))dx
後半の積分I2の積分区間[0,∞]をtにより分割します
I2=∫[0,∞]exp(-ax)exp(-a|t-x|)dx
t≧0のとき積分区間を[0,t]と[t,∞]に分割し絶対値を外します。
I2=∫[0,t]exp(-ax)exp(-a|t-x|)dx+∫[t,∞]exp(-ax)exp(-a|t-x|)dx
　=∫[0,t]exp(-ax)exp(-a(t-x))dx+∫[t,∞]exp(-ax)exp(-a(x-t))dx
t<0のときt<0≦xなので積分区間はそのまま絶対値が外せます。
I2=∫[0,∞]exp(-ax)exp(-a(x-t))dx

まとめると
t≧0のとき
I=I1+I2
=∫[-∞,0]exp(ax)exp(-a(t-x))dx
+∫[0,t]exp(-ax)exp(-a(t-x))dx+∫[t,∞]exp(-ax)exp(-a(x-t))dx
　=exp(-at)∫[-∞,0]exp(2ax)dx
+exp(-at)∫[0,t] dx+exp(at)∫[t,∞]exp(-2ax)dx
　=exp(-at)[exp(2ax)/(2a)][-∞,0]+texp(-at)
　+exp(at)[-exp(-2ax)/(2a)][t,∞]
　=exp(-at)/(2a)+texp(-at)+exp(-at)/(2a)
　=exp(-at)((1/a)+t)　(t≧0) ...(☆)
t<0のとき
I=I1+I2
　=∫[-∞,t]exp(ax)exp(-a(t-x))dx+∫[t,0]exp(ax)exp(-a(x-t))dx
　+∫[0,∞]exp(-ax)exp(-a(x-t))dx
　=exp(-at)∫[-∞,t]exp(2ax)dx+exp(at)∫[t,0]dx
　+exp(at)∫[0,∞]exp(-2ax)dx
　=exp(-at)[exp(2ax)/(2a)][-∞,t]-texp(at)
　+exp(at)[-exp(-2ax)/(2a)][0,∞]
　=exp(at)/(2a)-texp(at)+exp(at)/(2a)
　=exp(at)((1/a)-t) (t<0) (t<0) ...(★)
(☆)と(★)を合せたものが答えですが、
となります。
t=0軸に対称なので絶対値をつけて
　(f*f)(t)=I
　=exp(-a|t|)((1/a)+|t|) (-∞<t<∞)
とまとめることもできます。

お礼

丁寧で迅速な解答ありがとうございます。
非常にわかりやすくて勉強になりました。場合わけは図を書くとわかりやすいですね。
感謝しますm(_ _)m

回答No.1

Tacosan

微積分と絶対値とは相性が悪いので絶対値を外す.