y=s/(1+r)^x (0<r<1) の積分

質問

y=s/(1+r)^x
(0<r<1)
の指数関数を0～無限まで積分すると
s/r
になるかと思います。（割引現在価値の出し方ですが）
数列の和（級数）を使ったやりかたはテキストに出てくるのでわかるのですが、
積分を使った変形で解くことはできるのでしょうか。
高校の数学テキストを出してきてちょっと見ましたが、久しぶりでもあり、すぐ分からなかったので質問させていただきます。

回答No.6

CygnusX1 · ベストアンサー

s = 10, r = 0.1 でグラフを作りました。x = 0〜10

青線が y = s / (1 + r)^x の曲線
　これを0〜∞で積分すると 104.92
　台形近似で105
オレンジが 0, 1, 2, 3,・・・無限大までの和は s(1+1/r) = 110
緑が 1, 2, 3, 4・・・無限大までの和で s/r = 100

ということですね

お礼

すごくわかりやすいです。台形近似だと、曲線が下に凸なので、少し大きくなるわけですね。ありがとうございます！

回答No.5

CygnusX1

補足から
＞PS
　A = [ s * (1/(1 + r))^x / ln(1 / (1 + r)) ](0→∞)
　= 0 - s / ln(1 / (1 + r))
　のところはよくわからないのですが。

積分後の関数を f(x) とすると 0 から∞の積分は f(∞) - f(0) ですから、
f(x) = s * (1/(1 + r))^x / ln(1 / (1 + r))
で
x = ∞ とすると、1/(1+r)^∞ が 0
x = 0 とすると、1/(1+r) ^0 = 1
となり、
0 - s * 1 / ln(1 / (1 + r))
となります。

お礼

なるほどです、ありがとうございます！

回答No.4

CygnusX1

x を 0〜無限、ではなく 1〜無限 にするとs/r になりますね。
0〜無限ならば 1 + s/r になります。

それから、これは積分ではないです。積分の場合は x は連続的に変化して、 1.1 とか 10.05 のようなところも考えなければなりません。
∫y(x) dx の dx は無限に小さい区分に分けて足していくということですから。
例えば、s = 10, r = 0.1 とすると、一年目 9.091 、二年目 8.264 ですが、積分では、
一年目 (1 + 0.9091)/2 = 9.545、
二年目 (9.091 + 8.264)/2 = 8.678
(台形近似)
この差約 0.4 が出ているのだと思います。

お礼

ありがとうございます。恐らく連続複利だと積分になるのですね。

補足

連続複利だと底が１以上（1.05など）ですが、この割引現在価値の計算だと底が0～1 (0.95)になり、形としてはY軸に線対称の、ような、増減をするのを確認しました。ずいぶん懐かしいですが。また今回の、指数関数の式と、y=1/x の式とを混同していていたところがあり、それも整理できました。ありがとうございました。

回答No.3

tmppassenger

> textではないですが、これと同じ式です
> https://keiei-manabu.com/finance/perpetual%EF%BD%B0value1.html

これは y = s / ((1+r)^x) (0<r<1) を 0≦x< ∞で（正確に）積分したものではないではないですか... いわゆる「台形公式」を使った近似計算です。

で、ちゃんと計算すると、s/((1+r)^x) = s * exp(x * (-log(1+r) )ですので、これを積分すればいいですよね。置換積分を使えば積分出来ますが、慣れてしまっていれば、 (d/dx) (exp(ax)) = a*exp(ax)なので、∫exp(-xlog(1+r))dx = (-1/log(1+r)) exp(-xlog(1+r)) + C ですね。なので、元の式の、0≦x< ∞の範囲での定積分は、s/log(1+r) です。

お礼

あいまいな質問で、すみませんでした。でも大変勉強なりました。ありがとうございます！

回答No.2

CygnusX1

積分は台形の面積の和と考える。
y(x) = s / (1 + r)^x
として、x = 0, 1, 2, 3, ・・・, n とした時、面積 A は　
A = (y(0) + y(1))/2 + (y(1) + y(2))/2 + ・・・+(y(n-1) + y(n))/2
= y(0)/2 + y(1) + y(2) + ・・・+ y(n-1) + y(n)/2
途中省略
A = s * (1/2 + ((1 + r)^(n - 1) - 1) / ((1 + r)^(n - 1) * r) + 1 / (2 * (1 + r)^n)
= s * (1/2 + 1 / r + 1 / ((1 + r)^(n - 1) * r) + 1 / (2* (1 + r)^n)
n → ∞ で、( )内の3, 4項は 0 となるので

s * (1/2 + 1/r)

となりました。ご質問の中の s/r とは違ってますが、私間違ってる??

積分の式については、理科年表で調べたところ、
∫a^(b x) dx = a^(b x) / (b ln a)
という式がありました。
a = 1 / (1 + r)
b = 1
とすると、
A = [ s * (1/(1 + r))^x / ln(1 / (1 + r)) ](0→∞)
= 0 - s / ln(1 / (1 + r))
= - s / ln(1 / (1 + r))

お礼

ありがとうございます。
たぶん教えいただいたので合っているのではないかと思います。少しだけs/2 だけ多いようなのですが、たぶん形のずれ分なのではないでしょうか。

一応、質問の内容は下記と同じ式になります
https://keiei-manabu.com/finance/perpetual%EF%BD%B0value1.html
これだと、積分した時と比べ、隙間分小さくなるので、それがs/2 になるのではないかと推測します。

積分もありがとうございます。

補足

積分に関しては、私もその式しか、数学の教科書では見つけられず、（これ以上変形できないので）すっきりしないな、と思っていたのですが、ここまでなんでしょうかね。

PS
A = [ s * (1/(1 + r))^x / ln(1 / (1 + r)) ](0→∞)
= 0 - s / ln(1 / (1 + r))
のところはよくわからないのですが。

回答No.1

tmppassenger

ちょっと確認ですが、その「数列の和（級数）を使ったやりかたはテキストに出てくるのでわかる」という方法で解いた過程を、記載してもらえますか？

お礼

textではないですが、これと同じ式です
https://keiei-manabu.com/finance/perpetual%EF%BD%B0value1.html