積分および指数の変形

質問

熱力学の公式（断熱変化における仕事を求める公式）についてですが、指数の変形および積分方法が苦手のため、カテゴリを数学に選択し質問してます。

式１ PV^γ=P1V1^γ
式２ ｗ＝∫[１→２]ｐｄｖ
式３ ｗ＝ｐ１ｖ１／（γー１）＊（１ー（ｖ１／ｖ２）∧γー１）
式４ 式３＝ｐ１ｖ１／（γー１）＊（１ー（ｐ２／ｐ１）∧（γー１）／γ）

上記式２に式１変形を代入し積分すると式３になります
式３を変形すると式４になります

質問１　式３を導出する過程がわかりません…簡単な積分についてはある程度は出来ますが、指数の扱いが苦手でわかりません

質問２ 式３→式４の変形過程がわかりません

わかる方がいましたらご教授願います。
蛇足ですが、最近になり高校数学及び熱力学を勉強していますので、出来るだけ解りやすく説明頂ければ幸です。

回答No.3

noname#154783 · ベストアンサー

ANo.1です．

> →1/V^γ＝V^(-γ)　となっている理由は、指数法則より　1/a^（－n）＝a^nより用いたものと解釈しました。

その通りです．

> W
> = p1 V1^γ∫[1→2] V^(-γ) dV
> = p1 V1^γ[V^(1-γ)/(1 - γ)]_[1→2]
> = p1 V1^γ/(γ - 1) [-1/V^(γ-1)]_[1→2]
> →ここで(1-γ)が（-1+γ）と変形しているのはなぜですか？何かの公式を使用しているのでしょうか？

γは1より大きいです．(1 - γ)は負の数になってしまい，気持ち悪いので，(γ - 1)の形が現れるように変形しました．定積分の両端での値を評価してからこの変形を行うと，2個所に同じ変形を施す必要があるため，このタイミングで行いました．別にこんな公式があるってわけじゃなく，

V^(1-γ) = 1/V^(γ-1) (指数法則)
1/(1 - γ) = -1/(γ - 1)

という書き換えを行い，-1/(γ - 1)を[]の外に括り出しただけです．

> →ここで{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}＝{1 - (V1/V2)^(γ-1)}となるのはなぜでしょうか？

{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}＝{1 - (V1/V2)^(γ-1)}ではありません．

{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}

から因子1/V1^(γ-1)を括り出しているだけです：

{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}
= 1/V1^(γ-1) {1 - V1^(γ-1)/V2^(γ-1)}
= 1/V1^(γ-1) {1 - (V1/V2)^(γ-1)}

です．

お礼

再度回答頂きありがとうございます。
自分がわからなかった所を的確かつ解りやすく教えて頂きとても助かりました。

回答No.4

naniwacchi

#2です。

テキストだと見づらいかもしれませんので、数式エディタで書いてみました。
3行目から 4行目のところで、（　）の中身を入れ替えているので負号が出てきます。
その負号と前にかかっている「-γ+1」を掛け合わせることで、「γ-1」と変形しています。

最後の行で V(2)/V(1)の分母・分子を入れ替えれば、
指数の「-γ+1」も「γ-1」に置き換わります。

同じような文字がいっぱい並ぶので、よく見て計算しないと勘違いしてしまうかもしれません。

お礼

再度回答頂きありがとうございます。
とても解りやすかったです

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

変数の扱いがあるので、物理カテの方がよかったかもしれませんが・・・
以下、圧力：pは小文字、体積：Vは大文字で統一し、
状態 1や 2は、p(1)や V(1)のように表すことにします。

(式1)より、
p＝ p(1)・V(1)^γ／V^γ

これを (式2)に代入して
w
＝ ∫[1→2] p(1)・V(1)^γ／V^γ dV
＝ p(1)・V(1)^γ ∫[1→2] V^(-γ) dV
＝ p(1)・V(1)^γ [ 1/(-γ+1)・{ V(2)^(-γ+1)- V(1)^(-γ+1) } ]
＝ p(1)・V(1)^γ／(γ-1)・V(1)^(-γ+1){ 1- [V(2)/V(1)]^(-γ+1) }
＝（途中くくり出したり、約分したり）
＝ (式3)

∫x^n dx＝ 1/(n+1)* x^(n+1)+ C
の式を実数に拡張したものを使っています。

さらに、
p(1)・V(1)^γ＝ p(2)・V(2)^γより [V(2)/V(1)]^γ＝ p(1)/p(2)
を代入することで (式4)が得られます。

お礼

回答頂きありがとうございます。
わからなかったところおよび、解釈した点を矢印（→）にて追記しましたのでよろしければ再度回答願います。

w
＝ ∫[1→2] p(1)・V(1)^γ／V^γ dV
＝ p(1)・V(1)^γ ∫[1→2] V^(-γ) dV
＝ p(1)・V(1)^γ [ 1/(-γ+1)・{ V(2)^(-γ+1)- V(1)^(-γ+1) } ]
＝ p(1)・V(1)^γ／(γ-1)・V(1)^(-γ+1){ 1- [V(2)/V(1)]^(-γ+1) }
　→ここで(1-γ)が（-1+γ）と変形しているのはなぜですか？何かの公式を使用しているのでしょうか？
　　又、1/(-γ+1)・{ V(2)^(-γ+1)- V(1)^(-γ+1) }＝1- [V(2)/V(1)]^(-γ+1)と変形しているのはなぜですか

式の変形という基本的質問内容ですが、よろしければ回答願います。

回答No.1

noname#154783

式1より
p = {p1 V1^γ}V^(-γ).

※この式の{}内は定数であることに注意．

これを仕事の式
W = ∫[1→2] p dV
に代入すると，

W
= p1 V1^γ∫[1→2] V^(-γ) dV
= p1 V1^γ[V^(1-γ)/(1 - γ)]_[1→2]
= p1 V1^γ/(γ - 1) [-1/V^(γ-1)]_[1→2]
= p1 V1^γ/(γ - 1) {1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}
= p1 V1^γ/{(γ - 1)V1^(γ-1)} {1 - (V1/V2)^(γ-1)}
= p1 V1/(γ - 1) {1 - (V1/V2)^(γ-1)}. (これが式3)

また，式1でp = p2，V = V2のとき
p2 V2^γ = p1 V1^γ
V1^γ/V2^γ = p2/p1
(V1/V2)^γ = p2/p1
∴V1/V2 = (p2/p1)^(1/γ).

これを式3に代入すると，
W
= p1 V1/(γ - 1) {1 - [(p2/p1)^(1/γ)]^(γ-1)}
= p1 V1/(γ - 1) {1 - (p2/p1)^((γ-1)/γ)}. (これが式4)

※式変形はできるだけ省略せずに書いたつもりですが，そのため逆にくどいというか流れが悪くなっています．

お礼

回答頂きありがとうございます。
わからなかったところおよび、解釈した点を矢印（→）にて追記しましたのでよろしければ再度回答願います。

式1より
p = {p1 V1^γ}V^(-γ).
　→1/V^γ＝V^(-γ)　となっている理由は、指数法則より　1/a^（－n）＝a^nより用いたものと解釈し　　ました。

※この式の{}内は定数であることに注意．

これを仕事の式
W = ∫[1→2] p dV
に代入すると，

W
= p1 V1^γ∫[1→2] V^(-γ) dV
= p1 V1^γ[V^(1-γ)/(1 - γ)]_[1→2]
= p1 V1^γ/(γ - 1) [-1/V^(γ-1)]_[1→2]
　→ここで(1-γ)が（-1+γ）と変形しているのはなぜですか？何かの公式を使用しているのでしょうか？
= p1 V1^γ/(γ - 1) {1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}
= p1 V1^γ/{(γ - 1)V1^(γ-1)} {1 - (V1/V2)^(γ-1)}
　→ここで{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}＝{1 - (V1/V2)^(γ-1)}となるのはなぜでしょうか？

式の変形という基本的質問内容ですが、よろしければ回答願います。