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円周率の不思議
ある無限等比級数の不思議と値がπになると聞いたのですが、具体的にはどんな数列の和でしょうか?また、もし詳しく載っているサイトがあれば、是非教えてください!!よろしくお願いします！！
- samidare01
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補足します。 -1<x<1としてOKなのは 『積分区間は文字の変域』という重要な事柄からです。 積分を0から1までやっているから、厳密に言うと 0<x<1 です。
高3の範囲の積分計算をつかいます。 てか高2のこの時期では簡単な積分計算も微妙ですね…。 まあ積分は微分の逆って考えれば簡単ですし 教科書を参考にしてください。 まず、-1<x<1として 1-x^2+x^4-x^6+…=1/(1+x^2) です。これは等比数列の和の公式を使います。 (初項＝１ 公比＝x^2 項数＝無限個） ここで高３の知識が入ってきますが -1<x<1 みたいな数の無限乗は0になります。 なんとなく理解できるはずです。 次に単純に０から１まで定積分を左右にします。 左辺は 1-1/3+1/5-1/7+… に、なります。 右辺は完全に高３の知識です。 tanとかを使って置換積分というのをやるんですが 答えだけいうと π/4 に、なります。 No.1さんの補足としてください。 あなたはきっと理系ですよね？ 数学に興味があるような感じですし いま述べた高３の知識は決して難しいものではなく、 むしろ常識レベルの内容です。ですから後々わかるとおもいます。
- kabaokaba
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>ある無限等比級数の不思議と値がπになると聞いたのですが、 初項 a 公比 r (-1<r<1)の 無限等比級数の値は a/(1-r) です これがπになるには a=π(1-r)を満たすことが必要十分ですけども こんなのは山ほどありますな 例えば 1/2+1/4+・・・は1だけども これにπをかければ終わり． ある意味で「自明なもの」しかないということです． 意味があるのは，無限級数の和で πがでてくるものであって「等比」ではないです なんといっても，この手のもので有名なのは ゼータ関数方面です．
- mmk2000
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ζ関数の性質でたくさんあります。 参考URLをご覧になると数学の神秘を感じますね！
- age_momo
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>π/4=1-1/3+1/5-1/7... をどなたか証明できないでしょうか?? >高2の範囲を大きく超えてしまう場合は結構です。 大きくかどうかはともかくテイラー展開使いますので高2の範囲ではないでしょう。 証明というか導出は http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/pi2002.pdf これはグレゴリー・ライプニッツの公式といいますが、収束が遅いことで 有名です。300桁計算してやっと3.14になるといいます。 速さではマチンの公式がはるかに速いです。証明はされていますが マチンさんがどうやってこの式(数字)を思いついたかは？？？ http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/pi.htm
お礼
ありがとうございました。
- talepanda
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π/4=1-1/3+1/5-1/7... 無限*等比*級数ではないですけど、これのことかな？
お礼
早速ありがとうございます!!ごめんなさい無限等比級数ではないです。勢いで打ってしまいました。ただ僕が見たのはこの無限級数とはチョット違ったような…？？
補足
参考URLを拝見させていただきましたが、（ゼータ関数については意味不明でしたので…笑）π/4=1-1/3+1/5-1/7... をどなたか証明できないでしょうか??高2の範囲を大きく超えてしまう場合は結構です。多少なら分かります。
お礼
だいたいわかりました！！積分についてはやったので、後にすぐ分かりそうです。ありがとうございました！！