円周率の不思議

質問

ある無限等比級数の不思議と値がπになると聞いたのですが、具体的にはどんな数列の和でしょうか?また、もし詳しく載っているサイトがあれば、是非教えてください!!よろしくお願いします！！

回答No.6

noname#30877

補足します。
-1<x<1としてOKなのは
『積分区間は文字の変域』という重要な事柄からです。

積分を0から1までやっているから、厳密に言うと

0<x<1

です。

回答No.5

noname#30877

高3の範囲の積分計算をつかいます。
てか高2のこの時期では簡単な積分計算も微妙ですね…。
まあ積分は微分の逆って考えれば簡単ですし
教科書を参考にしてください。

まず、-1<x<1として

1-x^2+x^4-x^6+…=1/(1+x^2)

です。これは等比数列の和の公式を使います。
(初項＝１　公比＝x^2　項数＝無限個）
ここで高３の知識が入ってきますが
-1<x<1
みたいな数の無限乗は0になります。
なんとなく理解できるはずです。

次に単純に０から１まで定積分を左右にします。

左辺は

1-1/3+1/5-1/7+…

に、なります。

右辺は完全に高３の知識です。
tanとかを使って置換積分というのをやるんですが
答えだけいうと

π/4

に、なります。
No.1さんの補足としてください。

あなたはきっと理系ですよね？
数学に興味があるような感じですし
いま述べた高３の知識は決して難しいものではなく、
むしろ常識レベルの内容です。ですから後々わかるとおもいます。

お礼

だいたいわかりました！！積分についてはやったので、後にすぐ分かりそうです。ありがとうございました！！

回答No.4

kabaokaba

>ある無限等比級数の不思議と値がπになると聞いたのですが、

初項 a 公比 r (-1<r<1)の
無限等比級数の値は
a/(1-r)
です
これがπになるには
a=π(1-r)を満たすことが必要十分ですけども
こんなのは山ほどありますな
例えば
1/2+1/4+・・・は1だけども
これにπをかければ終わり．

ある意味で「自明なもの」しかないということです．

意味があるのは，無限級数の和で
πがでてくるものであって「等比」ではないです
なんといっても，この手のもので有名なのは
ゼータ関数方面です．

回答No.3

mmk2000

ζ関数の性質でたくさんあります。
参考URLをご覧になると数学の神秘を感じますね！

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.2

age_momo

>π/4=1-1/3+1/5-1/7... をどなたか証明できないでしょうか??
>高2の範囲を大きく超えてしまう場合は結構です。

大きくかどうかはともかくテイラー展開使いますので高2の範囲ではないでしょう。
証明というか導出は

http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/pi2002.pdf

これはグレゴリー・ライプニッツの公式といいますが、収束が遅いことで
有名です。300桁計算してやっと3.14になるといいます。
速さではマチンの公式がはるかに速いです。証明はされていますが
マチンさんがどうやってこの式(数字)を思いついたかは？？？

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/pi.htm

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

talepanda

π/4=1-1/3+1/5-1/7...

無限*等比*級数ではないですけど、これのことかな？

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/series/series.htm

お礼

早速ありがとうございます!!ごめんなさい無限等比級数ではないです。勢いで打ってしまいました。ただ僕が見たのはこの無限級数とはチョット違ったような…？？

補足

参考URLを拝見させていただきましたが、（ゼータ関数については意味不明でしたので…笑）π/4=1-1/3+1/5-1/7... をどなたか証明できないでしょうか??高2の範囲を大きく超えてしまう場合は結構です。多少なら分かります。