ベルトラン・チェビシェフの定理について。

質問

すみません。以下のURLの補題2.1 についてもう少し噛み砕いてご教授頂けると幸いです。
https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

自然数k以下の素数の個数を求めるのです
k以下の自然数の個数1～kのk個だから
整数k以下の素数の個数は
k
以下
で1は素数でないから1を引いて
k-1
以下
で4以上k以下の偶数は合成数で素数でないから
[k/2]-1=(4以上k以下の偶数の個数)
を引いて
k-1-([k/2]-1)
以下
で6以上k以下の3の倍数は合成数で素数でないから
[k/3]-1=(6以上k以下の3の倍数の個数)
を引いて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)
以下
で6以上k以下の6の倍数を2重に引いてしまったので
[k/6]=(6以上k以下の6の倍数の個数)
を加えて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]
以下
4は2の倍数ですでに引いてある
5は素数だからそのまま
5以外の5の倍数は合成数で素数でないから引く必要があるけれども
5*2=10は2の倍数ですでに引いてある
5*3=15は3の倍数ですでに引いてある
5*4=20は2の倍数ですでに引いてある
5*5=25はまだ引いていないので
1=[{25}の個数]
を引いて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]-1
以下
となるのです

ここで

π(k)
≦k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]-1
≦k-1-(k/2-2)-(k/3-2)+k/6-1
=k/3+2

と
証明できるので
これ以上引く必要はないのです