ベルトラン・チェビシェフの定理

質問

https://www.youtube.com/watch?v=h3x03f6YHcE
で公開されているベルトラン・チェビシェフの定理の証明についての質問です。
　n ≦ 71 の場合について、
　　37 ≦ n ≦ 71 ⇒ n < 73 < 2n
　　19 ≦ n ≦ 36 ⇒ n < 37 < 2n
　　10 ≦ n ≦ 18 ⇒ n < 19 < 2n ・・・・・(※)
のように区間をだんだん移動して、そこに挟まれる素数を確定して証明しているのですが、最後は
　　n = 3 ⇒ 3 < 5 ≦ 6
　　n = 2 ⇒ 2 < 4 ≦ 4
　　n = 1 ⇒ 1 < 2 ≦ 2
としています。なぜわざわざこうするのかがよくわかりません。
　(※)から続けて
　　4 ≦ n ≦ 9 ⇒ n < 7 < 2n
　　1 ≦ n ≦ 3 ⇒ n < 2 ≦ 2n
ではまずいのでしょうか？

回答No.2

koncha108 · ベストアンサー

37 ≦ n ≦ 71 ⇒ n < 73 < 2n

の意味を正しく理解されていないのでは無いでしょうか。
nが37の時、37 < P < 74。
37+1 < P < 74 + 2 の様に一つずつ、nを大きくしていきます。最後が、
71 < P < 142 ですね。これを図的に書くと、

37 .......................P. 74
38 ....................P....76
39................P........78
----
71.P..................................142
↑
　　　　　　　全ての列の範囲に含まれる数字の中に素数があるか?
つまり、この場合、71よりも大きくて、74よりも小さい範囲に素数があることが確認されれば（この場合はP=73)、37 ≦ n ≦ 71 の範囲のどの場合でも、定理が成り立つことがわかります。この場合、PはnがMaxの71よりも大きい必要があり、また2nがminの場合の 37x2 =74 よりも小さい必要があります。

4 ≦ n ≦ 9 ⇒ n < 7 < 2n
1 ≦ n ≦ 3 ⇒ n < 2 ≦ 2n
はこれが成り立っていないですよね。
じゃあ、成り立っていないことの意味は、n < 7 < 2n の7は、4 = n の時には
4 < 7 < 8 なので、OKなのですが、nが9の場合、9 > 7 < 18 になってしまい、n = 9 (この場合、n=5, 6, 7, 8, 9) の時の定理の証明にならないです。

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

回答No.1

muturajcp

n=9の時
7<9=n
7<n
だから
n<7は成り立ちません
「4≦n≦9→n<7<2n」は成り立ちません間違いです

37≦n≦71→n<73≦2n
19≦n≦36→n<37≦2n
10≦n≦18→n<19≦2n ・・・・・(*)
の次は
6≦n≦9→n<11≦2n
n=4,5→n<7≦2n
n=3→3<5<6
n=3→2<3<4
n=1→1<2≦2

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました