ベルトラン・チェビシェフの定理について。

質問

p を素数, x を有理数とする. x = 0 のとき, 整数における素因子分解の一意性により, x=pmab, a,b∈Z, gcd(a,p)=gcd(b,p)=1
となるような整数 m が (p と x に対して) 一意的に定まる. この m を ordp(x) で表す. また,
ordp(0) = ∞ と定める. ordp(x) を x の p 指数という.
これはどういう事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

pを素数,xを有理数とする.
x≠0
のとき,
xは有理数だから
分子が整数c分母が自然数bである分数c/bで表されるものを
有理数という
有理数の定義から
x=c/b
となる整数c,自然数b∈Zが存在する
c,bが互いに素でない場合はc,b公約数で約分して
c,bが互いに素な既約分数にできるから
c,bは互いに素(gcd(c,b)=1)とする

cはp^mで割り切れ,p^(m+1)で割り切れないような非負整数mが存在するから

c=ap^m
aとpは互いに素(gcd(a,p)=1)
となる
整数a∈Zが存在する
gcd(c,b)=1
に
c=ap^m
を
代入すると
gcd(ap^m,b)=1
だから
gcd(b,p)=1

c=ap^m
を
x=c/b
に代入すると
∴
x=(p^m)(a/b)
a,b∈Z,gcd(a,p)=1,gcd(b,p)=1
となるような整数mが存在する

x={p^(m1)}(a1/b1)={p^(m2)}(a2/b2)
a1,b1∈Z
a2,b2∈Z
gcd(a1,p)=gcd(b1,p)=1
gcd(a2,p)=gcd(b2,p)=1
となるような整数 m1≦m2があるとする

{p^(m1)}(a1/b1)={p^(m2)}(a2/b2)
↓両辺にb1b2/p^(m1)をかけると
a1b2=a2b1{p^(m2-m1)}

gcd(a1,p)=1だからa1とpは互いに素だから
a1はpを素因数に持たない
gcd(b2,p)=1だからb2とpは互いに素だから
b2はpを素因数に持たない
だから
a1b2はpを素因数に持たない
だから
p^(m2-m1)=1
∴
m2-m1=0
∴
m2=m1

∴
x=(p^m)(a/b)
a,b∈Z, gcd(a,p)=gcd(b,p)=1
となるような整数 m が (p と x に対して) 一意的に定まる.

回答No.2

muturajcp

x=0
ではありません間違いです
x≠0
です

x=pmab
ではありません間違いです
x=(p^m)(a/b)
です

pを素数,xを有理数とする.

x≠0

のとき,
整数における素因子分解の一意性により,

x=(p^m)(a/b),

a,b∈Z, gcd(a,p)=gcd(b,p)=1
となるような整数 m が (p と x に対して) 一意的に定まる.
この m を ordp(x) で表す.
また,
ordp(0) = ∞ と定める.
ordp(x) を x の p 指数という.
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pを素数,xを有理数とする.
x≠0
のとき,
x={p^(m1)}(a1/b1)={p^(m2)}(a2/b2)
a1,b1∈Z
a2,b2∈Z
gcd(a1,p)=gcd(b1,p)=1
gcd(a2,p)=gcd(b2,p)=1
となるような整数 m1≦m2があるとする

{p^(m1)}(a1/b1)={p^(m2)}(a2/b2)
↓両辺にb1b2/p^(m1)をかけると
a1b2=a2b1{p^(m2-m1)}

gcd(a1,p)=1だからa1とpは互いに素だから
a1はpを素因数に持たない
gcd(b2,p)=1だからb2とpは互いに素だから
b2はpを素因数に持たない
だから
a1b2はpを素因数に持たない
だから
p^(m2-m1)=1
∴
m2-m1=0
∴
m2=m1

∴
x=(p^m)(a/b)
a,b∈Z, gcd(a,p)=gcd(b,p)=1
となるような整数 m が (p と x に対して) 一意的に定まる.

補足

x≠0

のとき,
整数における素因子分解の一意性により,

x=(p^m)(a/b),
なぜ、このように言えるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.1

muturajcp

x=0
ではありません間違いです
x≠0
です

x=pmab
ではありません間違いです
x=(p^m)(a/b)
です

間違った質問には答えられません

pを素数,xを有理数とする.

x≠0

のとき,
整数における素因子分解の一意性により,

x=(p^m)(a/b),

a,b∈Z, gcd(a,p)=gcd(b,p)=1
となるような整数 m が (p と x に対して) 一意的に定まる.
この m を ordp(x) で表す.
また,
ordp(0) = ∞ と定める.
ordp(x) を x の p 指数という.

補足

整数における素因子分解の一意性により,

x=(p^m)(a/b),

a,b∈Z, gcd(a,p)=gcd(b,p)=1
となるような整数 m が (p と x に対して) 一意的に定まる.
この m を ordp(x) で表す.
また,
ordp(0) = ∞ と定める.
ordp(x) を x の p 指数という.
ここをもう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。