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ベルトラン・チェビシェフの定理について。

次の(vi)の証明を補題という言葉を使わずに証明していただけないでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

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  • muturajcp
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回答No.3

(vi) (v)から nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ, c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される (ii)から c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとき r=e(p)とすると c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)} (ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n √(2n)<pなら 2n<p^2 だから, 2≦e(p)と仮定すると p^2≦p^{e(p)}≦2n p^2≦2n となって 2n<p^2に矛盾するから e(p)≦1. よって Π_{p≦2n/3}p^{e(p)} =Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p ≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p 8<x≦9に対して4<x/2だから x以下の素数{2,3,5,7}の個数はπ(x)=4<x/2 だから 8<x≦9に対してπ(x)<x/2が成り立つ ある自然数kに対して 8<x≦2k+7となるxに対してπ(x)<x/2が成り立つと仮定する 2k+8=2(k+4)は偶数で合成数で素数でないから 2k+7<x<2k+9の時xは素数でないから {p;素数p≦x}={p;素数p≦2k+7}⊂{p;素数p≦2k+9}⊂{p;素数p≦2k+7}∪{2k+9} {p;素数p≦x}={p;素数p≦2k+7} |{p;素数p≦x}|=|{p;素数p≦2k+7}| π(x)=π(2k+7) ↓仮定からπ(2k+7)<(2k+7)/2だから π(x)=π(2k+7)<(2k+7)/2 π(x)<(2k+7)/2 ↓x(2k+7)/2<x/2だから π(x)<(2k+7)/2<x/2 π(x)<x/2 2k+7<x<2k+9の時π(x)<x/2が成り立つ {p;素数p≦2k+9}⊂{p;素数p≦2k+7}∪{2k+9} |{p;素数p≦2k+9}|≦|{p;素数p≦2k+7}|+1 π(2k+9)≦π(2k+7)+1 ↓仮定からπ(2k+7)<(2k+7)/2だから π(2k+9)≦π(2k+7)+1<(2k+7)/2+1 π(2k+9)<(2k+7)/2+1=(2k+9)/2 π(2k+9)<(2k+9)/2 x=2k+9の時π(x)<x/2が成り立つ 8<x≦2k+9=2(k+1)+7の時π(x)<x/2が成り立つから x>8の時x以下の素数の個数π(x)<x/2が成り立つ x=√(2n)とすると 8<x=√(2n) 8<√(2n) 64<2n ∴ 32<n…………(32<n) 32<nならば 64<2n 8<√(2n)=x 8<x=√(2n)だから x以下の素数の個数π(x)<x/2が成り立つから √(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える また,(iv)を用いて素数の積を上から評価すると Π_{p≦2n/3}p =Π_{p≦[2n/3]}p <4^([2n3]) ≦4^(2n/3) したがって (32<n)ならば c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから (32<n)ならば 4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える

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  • muturajcp
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回答No.2

(vi) (v)から nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ, c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される (ii)から c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとき r=e(p)とすると c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)} (ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n √(2n)<pなら 2n<p^2 だから, 2≦e(p)と仮定すると p^2≦p^{e(p)}≦2n p^2≦2n となって 2n<p^2に矛盾するから e(p)≦1. よって Π_{p≦2n/3}p^{e(p)} =Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p ≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p x=9以下の素数{2,3,5,7}の個数π(x)=4<9/2=x/2 ある自然数kに対して 9≦x≦2k+7となるxに対して π(x)=|{p;素数p≦x}|<x/2が成り立つと仮定する 2k+8=2(k+4)は偶数で合成数で素数でないから 2k+7<x<2k+9の時xは素数でないから {p;素数p≦x}={p;素数p≦2k+7}⊂{p;素数p≦2k+9}⊂{p;素数p≦2k+7}∪{2k+9} {p;素数p≦x}={p;素数p≦2k+7} |{p;素数p≦x}|=|{p;素数p≦2k+7}| π(x)=π(2k+7) ↓仮定からπ(2k+7)<(2k+7)/2だから π(x)=π(2k+7)<(2k+7)/2 π(x)<(2k+7)/2 ↓x(2k+7)/2<x/2だから π(x)<(2k+7)/2<x/2 π(x)<x/2 2k+7<x<2k+9の時π(x)<x/2が成り立つ {p;素数p≦2k+9}⊂{p;素数p≦2k+7}∪{2k+9} |{p;素数p≦2k+9}|≦|{p;素数p≦2k+7}|+1 π(2k+9)≦π(2k+7)+1 ↓仮定からπ(2k+7)<(2k+7)/2だから π(2k+9)≦π(2k+7)+1<(2k+7)/2+1 π(2k+9)<(2k+7)/2+1=(2k+9)/2 π(2k+9)<(2k+9)/2 x=2k+9の時π(x)<x/2が成り立つ 9≦x≦2k+9=2(k+1)+7の時π(x)<x/2が成り立つから x≧9の時 x以下の素数の個数π(x)<x/2が成り立つ x=√(2n)とすると 9≦x=√(2n) 9≦√(2n) 81≦2n 40.5=81/2≦n ↓nは整数だから ∴ 41≦n…………(41≦n) 41≦nならば 82≦2n 9<√82≦√(2n)=x 9<x=√(2n)だから x以下の素数の個数π(x)<x/2が成り立つから √(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える また,(iv)を用いて素数の積を上から評価すると Π_{p≦2n/3}p =Π_{p≦[2n/3]}p <4^([2n3]) ≦4^(2n/3) したがって (41≦n)ならば c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから (41≦n)ならば 4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える

  • muturajcp
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回答No.1

(vi) (v)から nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ, c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される (ii)から c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとき r=e(p)とすると c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)} (ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n √(2n)<pなら 2n<p^2 だから, 2≦e(p)と仮定すると p^2≦p^{e(p)}≦2n p^2≦2n となって 2n<p^2に矛盾するから e(p)≦1. よって Π_{p≦2n/3}p^{e(p)} =Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p ≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p x=√(2n)とすると n>72ならば 12<√(2n)=x 12<x 9以下の素数{2,3,5,7}の個数は[9/2]=4個 11以上x以下の素数の個数は 11以上x以下の奇数 {11=2*1+9,…,2m+9≦x}の個数m=[(x-9)/2]より小さいから x以下の素数の個数π(x)<[9/2]+[(x-9)/2]≦x/2 x=√(2n)だから √(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える また,(iv)を用いて素数の積を上から評価すると Π_{p≦2n/3}p =Π_{p≦[2n/3]}p <4^([2n3]) ≦4^(2n/3) したがって n>72ならば c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから n>72ならば 4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2]) が言える

zasx1098
質問者

お礼

9以下の素数{2,3,5,7}の個数は[9/2]=4個 11以上x以下の素数の個数は 11以上x以下の奇数 {11=2*1+9,…,2m+9≦x}の個数m=[(x-9)/2]より小さいから で、なぜより小さいからなのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

zasx1098
質問者

補足

なぜ、n>72なのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

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