ベルトラン・チェビシェフの定理について。

質問

以下の画像の（vi)で、以下のURLの補題5.2で、 2∧ （2nー 1)＜ 2∧（2n）＝4∧nで、n＝（2n／3)
で、4∧（2n／3)となる所は分かるのですが、（2n）∧（√（2n))／ 2となる所が分かりません。
7の定理 1.1をその後利用したいのですが。ご教授願えませんか？すみませんが。
https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf

回答No.9

muturajcp · ベストアンサー

[nが十分大ならば(A)が成り立つ]
の
「十分大」とは
「(A)が成り立つ」ぐらい十分大きい
という意味なのだから

[n>Kならば(A)が成り立つ]
となるKが存在するとき
[nが十分大ならば(A)が成り立つ]
というのです
従ってこの「十分大」の定義から
n>72ならば
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が成り立つから
nが十分大ならば
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が成り立つのです
(vi)
(v)から
nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)から
c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとき
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n

√(2n)<pなら
2n<p^2
だから,
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
p^2≦2n
となって
2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1.

よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

x=√(2n)とすると
n>72ならば
12<√(2n)=x
12<x
2<x/6=x/2-x/3
2<x/2-x/3
x/3+2<x/2
補題2.1より
x以下の素数の個数π(x)≦x/3+2<x/2
x=√(2n)だから
√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから

Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える

また,補題5.2を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p
=Π_{p≦[2n/3]}p
<2^(2[2n/3]-1)
≦2^{2(2n/3)-1}
<2^{2(2n/3)}
=(2^2)^(2n/3)
=4^(2n/3)

したがって
n>72ならば
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
n>72ならば
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える

回答No.8

muturajcp

n>72は言えるのではありません
n>72は結論ではありません
n>72ならば
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
言えるのです
n>72は
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が言えるための
条件なのです
(vi)
(v)から
nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)から
c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとき
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n

√(2n)<pなら
2n<p^2
だから,
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
p^2≦2n
となって
2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1.

よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

x=√(2n)とすると
n>72ならば
12<√(2n)=x
12<x
2<x/6=x/2-x/3
2<x/2-x/3
x/3+2<x/2
補題2.1より
x以下の素数の個数π(x)≦x/3+2<x/2
x=√(2n)だから
√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから

Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える

また,補題5.2を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p
=Π_{p≦[2n/3]}p
<2^(2[2n/3]-1)
≦2^{2(2n/3)-1}
<2^{2(2n/3)}
=(2^2)^(2n/3)
=4^(2n/3)

したがって
n>72ならば
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
n>72ならば
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
が言える

回答No.7

muturajcp

最初から(vi)です
(vi)
(v)から
nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)から
c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとき
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n

√(2n)<pなら
2n<p^2
だから,
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
p^2≦2n
となって
2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1.

よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

x=√(2n)とすると
nが十分大でn>72ならば
12<√(2n)=x
12<x
2<x/6=x/2-x/3
2<x/2-x/3
x/3+2<x/2
補題2.1より
x以下の素数の個数π(x)≦x/3+2<x/2
x=√(2n)だから
√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから

Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2])

また,補題5.2を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p
=Π_{p≦[2n/3]}p
<2^(2[2n/3]-1)
≦2^{2(2n/3)-1}
<2^{2(2n/3)}
=(2^2)^(2n/3)
=4^(2n/3)

したがって
n>72の時
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
n>72の時
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])

補足

なぜ、nが十分大ならば、n＞72と出来るのでしょうか？ご教授下さい。すみませんが。

回答No.6

muturajcp

訂正です
(v)nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとき
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n

√(2n)<pなら
2n<p^2
だから,
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
p^2≦2n
となって
2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1.

よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

x=√(2n)とすると
nが十分大でn>72ならば
12<√(2n)=x
12<x
2<x/6=x/2-x/3
2<x/2-x/3
x/3+2<x/2
補題2.1より
x以下の素数の個数π(x)≦x/3+2<x/2
x=√(2n)だから
√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから

Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2])

また,補題5.2を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p
=Π_{p≦[2n/3]}p
<2^(2[2n/3]-1)
≦2^{2(2n/3)-1}
<2^{2(2n/3)}
=(2^2)^(2n/3)
=4^(2n/3)

したがって
n>72の時
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
n>72の時
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])

補足

どこからが（vi)なのでしょうか？ご教授下さい。すみませんが。

回答No.5

muturajcp

(v)nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとすると
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n

√(2n)<pなら
2n<p^2
だから,
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
p^2≦2n
となって
2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1.

よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから

Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2])

また,補題5.2を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p
=Π_{p≦[2n/3]}p
<2^(2[2n/3]-1)
≦2^{2(2n/3)-1}
<2^{2(2n/3)}
=(2^2)^(2n/3)
=4^(2n/3)

したがって
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])

補足

√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから
で、なぜ、｛√（2n)｝／2というのは、どういうことでしょうか？ご教授下さい。すみませんが。

回答No.4

muturajcp

(v)nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとすると
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

補題4.5より
√(2n)<pなら
2n<p^2
だから
c_n=(2n)!/(n!)^2はp^2で割れないから
p^1でしか割れないから,e(p)≦1.

(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n
よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから

Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2])

また,補題5.2を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p
=Π_{p≦[2n/3]}p
<2^(2[2n/3]-1)
≦2^{2(2n/3)-1}
<2^{2(2n/3)}
=(2^2)^(2n/3)
=4^(2n/3)

したがって
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])

回答No.3

muturajcp

訂正です
(v)nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとすると
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

しかもp≧√(2n)<pならp^1でしか割れないから,e(p)≦1.
(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n
よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

√(2n)以下の素数の個数は{√(2n)}/2以下だから

Π_{p≦√(2n)}2n≦(2n)^([{√(2n)}/2])

また,補題5.2を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p=Π_{p≦[2n/3]}p<4^(2n/3)

したがって
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])

お礼

Π_{p≦2n/3}p=Π_{p≦[2n/3]}p<4^(2n/3)で、なぜ、4∧（ 2n／3)となるのでしょうか？ご教授下さい。すみませんが。

補足

しかもp≧√(2n)<pならp^1でしか割れないから,e(p)≦1.とはどういうことでしょうか？n＝2 の時でも、成り立ちますか？p≧√（2n）＜pならp∧ 1でしか割れないとはどういうことでしょうか？ご教授下さい。すみませんが。

回答No.2

muturajcp

(v)nと2nとの間にもしも素数がまったくなければ,
c_nは2n/3までの素数pの累乗の積に素因数分解される
(ii)c_nを素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れるとすると
r=e(p)とすると

c_n=Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}

しかもp≧√(2n)<pならp^1でしか割れないから,e(p)≦1.
(ii)からすべての素数pに対してp^{e(p)}≦2n
よって

Π_{p≦2n/3}p^{e(p)}
=Π_{p≦√(2n)}p^{e(p)}Π_{√(2n)<p≦2n/3}p
≦Π_{p≦√(2n)}(2n)Π_{p≦2n/3}p

√(2n)以下の素数(奇数)の個数は{√(2n)}/2未満だから

Π_{p≦√(2n)}2n<(2n)^([{√(2n)}/2])

また,補題5.2を用いて素数の積を上から評価すると

Π_{p≦2n/3}p=Π_{p≦[2n/3]}p<4^(2n/3)

したがって
c_n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])
さらに,(iii)より4^n/n<c_nだから
4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^([{√(2n)}/2])

回答No.1

f272

どこにもあなたに言っているようなことは書いていないようだが、私の探し方が悪いのか？
それから∧を累乗の記号として使っているようだが気持ち悪い。慣習に従って記号は^を使ってください。

補足

補題5.2 で、任意の整数n≧2 〜の所です。ご教授下さい。すみませんが。