チェビシェフの定理と大数の法則
平均をm、標準偏差をs、サイズN、値をx_k、度数をf_kとしたとき
チェビシェフの定理は
m-ks<x<m+ks (k>=1)
なる範囲にあるデータは(1-1/k^2)*N以上である
と本にあり、それの証明で
s^2=Σ(k=1からn)(x_k-m)^2*f_k
>=Σ(|x_k-m|>=ksなるkの和)(x_k-m)^2*f_k/N
>=Σ(|x_k-m|>=ksなるkの和)(ks)^2*f_k/N・・(1)
=(ks)^2/NΣ(|x_k-m|>=ksなるkの和)f_k・・(2)
より
Σ(|x_k-m|>=ksなるkの和)f_k<=N/k^2
よって
Σ(|x_k-m|<ksなるkの和)f_k>=(1-1/k^2)*N
と証明しているのですが(1)から(2)にするときΣはkの和をとっているのになぜ(ks)^2のkをΣから勝手に出せるのでしょうか？
また大数の定理
同一期待値μ、同一分散σ^2を持つ互いに独立な確立変数の平均を
X~=(X_1+X_2+・・・+X_m)/n
とおけば任意のεについて
n→∞のとき、P(|X~-μ|<ε)→1
が成り立つ。
とありますがそもそもP(|X~-μ|<ε)というのが非常に理解しがたいのです
この定理を理解するためになにか簡単な具体例とかをできれば教えてください。
またこの定理の証明でチェビシェフの定理で
k=ε/s,s=σ/√nとおいて証明していますが
このようにおく根拠or理由というのが全く想像がつきません。
長い文章になってしまい申し訳ありませんがぜひぜひ教えてくださいお願いします。
補足
これは、最近の本でしょうか？ご教授下さい。すみませんが。