留数の求め方

質問

関数論の再勉強中です。
　半径R(R > 1)の上半円と実軸 -R ≦ z ≦ R で囲まれた閉曲線 C 内において
　　f(z) = g(z)/h(z) = e^(iaz)/(z^2+1)(z^4+1)
の留数の求め方について教えて下さい。

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

α^4 + 1 = 0 です。

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

f(z)=e^(iaz)/{(z^2+1)(z^4+1)} であるとすると、
z^4+1=0 の解をは、z=α, (α=e^{(2n+1)pi*i/4}, (n=0 ~ 3)
z-α=u とおくと、
Res(f(z), α)=lim[u→0]【u*f(z)】
= e^(iaα)/(6α^5+4α^3+2α)
= e^(iaα)/{4α(α^2 - 1)} ... (*)
ここでα=e^(pi*i/4), e^(3pi*i/4).
ともどして計算してください。
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※ 上記結果(*)は計算ミスがあるかもしれません。

補足

回答まことにありがとうございます。
> = e^(iaα)/(6α^5+4α^3+2α)
から
> = e^(iaα)/{4α(α^2 - 1)} ... (*)
への変形がよくわからないのですが。