（数学）定義 or 定理

質問

中学１年の数学についての質問です。

(1)（ある数）－（負の数）=（ある数）+（正の数）・・・（負の数）を引くこと＝（正の数）を足すこと
(2)（負の数）×（負の数）=（正の数）・・・（負の数）と（負の数）を掛けると（正の数）になる。

（質問）
(1)、(2)は定義なのでしょうか？ それとも、定理なのでしょうか？

詳しい方、お願い致します。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

負の数が導入されている状況からすると、このような「状況」での加減乗除を考えるのは、有理数体、もしくは実数体における演算を行っている、と考えられますが：

(1)
一般に体における演算では「引き算」というものは定義されておらず、a-bというのは必ず a + (-b) の事だと解釈します。
※ 体では引き算は定義されていないが、aに対する加法逆元 -aは定義されている。これが、小学生の範囲、つまり自然数の範囲の演算だと、aに対する加法逆元は定義されないので、「引き算」を別途定義する必要がある。
なので、a - (-b) = a + (-(-b))です。なので、（ある数）- （負の数）= （ある数）+（正の数）.... では『なくて』（ある数）- （負の数）= （ある数）+ （その負の数に更にマイナスを付けたもの）、というのが定義。
で、問題は一般に (-(-a)) = a になる事は、これは本当は「証明する必要がある」。これは、大学数学では、(-a) + (-(-a)) = 0の両辺にaを足すと、 a + ((-a) + (-(-a))) = 0 + a で、左辺は結合則から (a + (-a)) + (-(-a)) = 0 + (-(-a)) = -(-a)、右辺は aであるから、結局 (-(-a)) = aが導かれる、という風にやります。

(2) これは、体の演算では、まず分配則から、 (0+0) * a = 0*a + 0*a であり、0+0=0であるゆえ、0*a = 0*a + 0 * a であるから、0*a = 0。
次に 0 = 0 * b = (a + (-a)) * b で、再び分配則から 0 = a * b + (-a) * b となって、両辺に-(ab)を加えて -(ab) = (-a)bが導かれる。
これから-(a(-b)) = (-a)(-b)となりますが、やっぱり分配則から 0 = a*0 = a(b+(-b)) = ab + a(-b)であるから、両辺に (-ab)を足して -(ab) = a(-b)。よって-(-(ab)) = (-a)(-b)であるが、左辺はさっきの通りabなので、ab = (-a)(-b)が導かれます。

..... となって、結局「体」の定義がどうなっているか、という理解が必要になります。（結局上の議論でも、結合則とか、分配則とかは成り立つ事が前提となっていますね。これは体の定義に含まれていますが、体の定義にこれが含まれていることは、知っている必要がある）

中学1年の段階では、ある程度感覚でやるしかないんではないかな？

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.2

tmppassenger

補足しておくと、体（もっと一般に可換環）において、aに対する加法逆元 -a というのは、aに対して a+b = b + a = 0となる bの事で、これは体（もっと一般に可換環）において必ず存在することは「定義から」保証されている。このbのことを-aと書きます。
で、あるaが与えられた時、これに対する加法逆元が、（存在することは定義から保証されているものの）1つしか存在しないことは、これは一般に定義には含まれてないので、これは証明する必要がある..... とかするとどんどん話が長くなるので、この辺で一旦やめておきます。