準同型写像 素イデアル

質問

φ:A→Bを環の準同型写像とし、pをBの素イデアルとする。このとき、φ^-1(p);={a ∈A | φ(a) ∈p}はAの素イデアルであることをどう示しますか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

φと書くのが面倒なので f, f^{-1} と書くのが面倒なので f* と以降書く。

◯ f*(p) がAのイデアルであること
x, y ∈ f*(p) ならば、f(x), f(y) ∈ p。この時 f (x + y) = f(x) + f(y) ∈ p であるから、 x+y ∈ f* (f(x+y)) ⊂ f*(p)。又 z∈A なら、f(zx) = f(z) f(x) ∈ p であるから、同様に zx ∈ f*(p) 。従って f*(p) は Aの イデアルである。
◯ f*(p) が A の真のイデアルであること
Aの単位元を1_A, Bの単位元を 1_B と以降書く。1_A ∈ f*(p) であれば、f(1_A) = 1_B ∈p であるが、p は Bの素イデアルであるから 1_B ∉p 。対偶より 1_A ∉f*(p)。よってf*(p) は Aの真のイデアルである。
◯ xy∈ f*(p) なら、x∈f*(p) または y∈f*(p) （の少なくとも一方）が成り立つ事
xy∈ f*(p)なら f(x) f(y) ∈p。pはBの素イデアルであるから、f(x)∈p または f(y)∈p。f(x)∈pの時は x∈f*(f(x)) ⊂f*(p)。f(y)∈pの時は y∈f*(p) となる。

以上から、f*(p) は確かにA の素イデアルである。

お礼

ご丁寧にありがとうございます!!勉強になります！本当にありがとうございます‪⸜(*ˊᵕˋ*)⸝‬