絶対値について

質問

極限の四則演算のうち、掛け算の中で
|g(x)|≦BとなるBがあることを使いますが、その証明（画像の（i））で、
|g(x)－β|＜ε ⇔ β－ε＜g(x)＜β＋εからなぜ
|g(x)|≦max｛|β－ε|, |β＋ε|｝となるかが分からず、絶対値の外し方の話になるかと思いますが順々に解いていったらこんがらがってしまったのでこちらでご質問させて頂きました。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

一般に |x| = max{x, -x}であることは覚えておいたほうがいいです。

g(x)＜β＋ε ≦ max{ β＋ε, -(β＋ε)} = |β＋ε|
一方、 β－ε＜g(x) から -g(x) < -(β－ε) ≦ max{ (β－ε), -(β－ε) } = |β－ε|

であるから、
g(x) < max{ |β＋ε|, |β－ε|} かつ -g(x) < max{ |β＋ε|, |β－ε|}
であるので、
|g(x)| = max{ g(x), -g(x) } < max{ |β＋ε|, |β－ε|}

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なんですが、一般に三角不等式 |a+b| ≦ |a| + |b| において、a = x-y, b = yとおくと |x|≦ |x-y| + |y|、つまり |x| - |y| ≦ |x-y|。同様に |y| - |x| ≦ |x-y| となるから、一般に
| |x| - |y| | ≦ |x-y|
であることを知っておくと、|g(x)－β|＜ε から |g(x)| - |β| < ε となって、|g(x)| < |β| + ε となります。

お礼

素早い回答ありがとうございます！
すごく分かりやすいです(＞_＜)
助かりました！