0.9999....=1の証明(?)について

質問

「No.32339：1 = 0.99999.....?」に寄せられたstomachmanさんのNo.6の回答の中に、「「無限大」は数ではないから、わり算しちゃいけません。…」とありました。この「わり算」というのは他の演算一般も含まれているのでしょうか（決して揚げ足取りで言っているのではありません）。
というのは質問タイトルのよくある証明で
　x = 0.999...と置き、10x - x = 9 から x = 1
を導くものがありますが、無限の性質を持つものにこのような演算が成立するのか、ということが疑問として残っています。

何だか難しく考えすぎなのかもしれませんが、無限小数に対して四則演算を施している上記の証明（計算）は正当なのかということをお尋ねしたく思います。
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.7

maris_stella · ベストアンサー

＞「...小数表現の数と実数が一対一対応にしておかないと...」
＞とあるのですが、1.0000....という小数表現も0.9999....というそれも、どちらも実数1に対応するのであれば、それは「一対一」にはならないのではないでしょうか。

わたしの表現が下手だったのだと思います。

１．００００……という小数の「模様」と、０．９９９９……という小数の「模様」が二つあるのです。二種類模様があるので、これに対応する「数」が存在するはずだと考えると、実数論の考えからはおかしいことが起こり、どうしても、０．９９９９……の模様が、何かの「数」を表現しているのだとすると、それはノン・スタンダードな数学になってしまうのです。

そこで、実数論では、実は、０．９９９９……に当たる模様は、１という実数に等しいと考えられており（定義されており）、従って、１．０００００……という無限に続いている模様と、０．９９９９……という同じく無限に９が続く模様は、別の模様ではなく、「同じ模様」が違って描かれていると考えるのです。

この「同じ模様」が、１という実数に一対一対応するのです。１．０００……０００１という、あいだに０が無限に続き、最後に１が来る模様も考えられるのですが、この模様も、１．００００……と同じ模様だとし、１に一対一対応させているのです。

つまり、小数表現で、「模様」が違うと、それぞれ違う「数」に対応すると考えると、スタンダードな数学では、対応している「数」がないのです。そこで、実数論では、先に言ったように、１は色々な模様で表現できるが、「数」としては一つしかなく、多数ある「模様」は、同じ模様を違って見ているのであると考え、定義で、同じ模様だとし、１と、これら模様のあいだの一対一対応が成立しているということです。

繰り返しになりますが、一対一対応にしないと、０．９９９９……という模様に「対応する数」があることになるのですが、そんな数があると、スタンダードな数学にならないのです。

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＞つまり、4/33の小数表現は0.121212...のひと通りですが、2/3の場合は1.50000...と1.49999...のふた通りの表現が可能ということになります。
＞それは特に問題にはならないのでしょうか。

この質問は考えていたのですが、よく分からなかったのですが、現在の時点では（色々考えましたので、思い出すことや、納得することなどが増えました）、次のように回答できるのではないかと思います。（ただ、あくまで、こういう風にわたしは考えるということで、教科書や、専門の数学者の書いた本で勉強してください）。

０．１２１２１２１２……という無限循環小数は、「無限級数」で表現すると、収束して、４／３３になるのですが、最後に来るのは１か２かという問題を考えると、１か２かという問題では、答えは「発散」します。つまり、計算してゆけば、順次に１と２が交互に出てきて、どちらで終わるということもないからです。

しかし、変な話に聞こえますが、無限小数ではなく、「模様」として考えると、「実無限」で、この「模様の形は決まっていて」、最後に何が来るかも決まっています。この場合、１か２です。

つまり、１の場合と２の場合があるのです。

先に、１．０００……０００１も１であると言いましたが、１．０００……０００２も、同じ１で、１．００００……０００３も１です。１に対応する実無限の数配置の模様は「無限」にあるのです。０．９９９９９……と１．００００……だけではないのです。

「実無限」での数の配置の場合は、０．１２１２１２……１２１２１も４／３３ですし、０．１２……１２１２も４／３３ですし、更に、０．１２１２……１２３も４／３３です。

何故こうなるかというと、加算をしているのではなく、あくまで模様としてみて、０．１２１２……の最後の部分を見ると（取り出すと）、それは、１２で終わっているか、２１で終わっており、これに、０．０００……０００１を加えると（加算ではなく、模様の数を加えるということです）、最後が１３とか２２になります。しかし、この場合も、４／３３です。

無限級数とか極限とかを考える場合は、無限の数列の「最後」は意味がありません。最後があるとすると、「その先」を考えることができるのが、可能無限で、極限の考えです。

しかし、「実無限」で数が並んでいる場合は、この数の列の先頭が何か分かるように、最後の数も何か分かります。

（どうしてそんなことが可能になるのかというと、集合論で、「選択公理」という公理があり、カントールの無限集合論は、この公理を使っているのですが、この公理では、「集合の任意の元を取り出すことができる」となっています。確定した実無限の数の列の場合、その最後の数を取り出して来ることが、この公理で可能になるのです。この公理は問題のある・興味深い公理で、メタ数学の発展と関係しています）。

極限の場合は、「最後の数」はありません。しかし、「模様」として、無限個並んでいる数の列は、最後があるのです。極端に言えば、０．９９９９……の列の最後の部分が、１，２，３，４，５……と何であっても、みな、１と同じ数になります。

４／３３の「無限循環小数」表現では、「限りなく」１２……または２１……が続いて行きます。「最後」の数字はないのです。他方。０．９９９９……は、極限の無限小数で出して来た模様ではなく、０．の後に、９が「無限に」並んでいるという模様です。従って、これは、「最後の数字」が「ある」のです。

４／３３を無限循環小数表現するということは、極限表示なのに対し、０．９９９９……は、極限表示ではないのです。だから、４／３３に当たる数を、０．９９９９……同様の、実無限の数の並びだとしてしまうと、最後の数として１でも２でも３でも４でも、何でもよいことになり、しかも、表している実数は、定義上、４／３３になるのです。

表示の意味が違っているのです。

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＞　　もし0が0.0000...と表現されるのならば、
＞　　二進法における0.0000...は = 0 なのか

０は、一般のＮ進法で、０．０００００……です。
二進法での０．０００００……も０です。

＞　　それとも十進法における 0.9999... と同じで
＞　　0.0000... = 1 なのか

十進法の０．９９９９……に対応するのは、二進法では、０．１１１１１……です。これは勘違いです。

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追加で、jmh さんには申し訳ないのですが、０．９９９９……を無限級数あるいは極限で定義することと、模様としての０．９９９９９……は別のことです。

ａ＝ｌｉｍ（ｎ→∞）［１－１０^(-n)］

と定義すると、ｎが限りなく増大するにつれ、ａは、０．９９９９……という形になります。しかし、これは、模様の０．９９９９……とは異なっているのです。これは「極限」であって、常に、ｎ（これは自然数です）として、より大きなｎが取れるということを意味していて、ｎ＝∞にはならないのです。∞とは、「記号」で、「数ではない」のです。

１からｎまでの集合を考え、これを｛１，２，３，……，ｎ｝＝Ａとすると、模様としての０．９９９９……は、ｎ＝∞の場合でなく、｜Ａ｜＝∞の場合です。｜Ａ｜は「Ａの濃度」を示します。（濃度記号としては、∞は意味があるのですが、∞は数ではないのです）。

上のような、極限で、ａを定義した場合、１０ａ－ａ＝９ａというような計算が成立するかということですが、成立します。

ただし、１０ａ－ａ＝９というような式は成立しません。
ａを上の定義の通りだとすると、ｌｉｍ（ｎ→∞）［１０ａ－ａ］＝９は成立します。

９．９－０．９＝９
９．９９９－０．９９＝９
９．９９９９－０．９９９＝９
　…………

こういう式は違っています。

ｎ→∞とは、ｎ＝１から始まって、ｎ＝１００、１０１……１０００、１００１……と限りなく∞に近づくという意味です。

ｌｉｍ（ｎ→∞）［１０ａ－ａ］の式のなかの［１０ａ－ａ］の部分だけを考えます。無論、その前のｌｉｍ（ｎ→∞）は省略しているだけで、実際は付いています。そのとき、

ｎ＝１の時、ａ＝０．９で、式は：　９－０．９＝８．１
ｎ＝２の時、ａ＝０．９９で、式は：　９．９－０．９９＝８．９１
ｎ＝３の時、ａ＝０．９９９で、式は：　９．９９－０．９９９＝８．９９１
　　………………
ｎ→∞の時、ａ＝０．９９９９９……で、式は、８．９９９９……９９１

この値に「収束」して行きます。
この計算の「極限値」は、９になります。正確に書くと、ｌｉｍ（ｎ→∞）［１０ａ－ａ］→９で、これを、＝９と書くのです。

ａ＝ｌｉｍ（ｎ→∞）［１－１０^(-n)］　は、ｎが限りなく大きくなると、１へと限りなく近づいて行きます。しかし、決して１にはならないのです。

これは、数直線を、１という数（点）で切断したとき、１いう点が、１より大きい半直線に属するとすると、この半直線には、一番小さい数が存在し、それは１だが、１より小さい半直線には、一番大きい数が存在しないと言ったことと平行しています。

ａ＝ｌｉｍ（ｎ→∞）［１－１０^(-n)］　は、限りなく１に近づくが、１には決してならないのですが、こういう状態を、「１に収束する」と言い、「極限値は１」であると表現し、極限値の意味で、ａ＝ｌｉｍ（ｎ→∞）［１－１０^(-n)］＝１　と書くのです。

しかし、これは「極限値が１」になることで、実は定義的にも１ではないのです。

補足

何度もありがとうございました。お礼が遅くなりまして申し訳ありません。

大変、納得のいくご回答でした（私の頭で「理解」するにはまだもう少し時間がかかりそうですが）。特にノン・スタンダード数学との対比としての記述は、今後この問題を考え続ける上での確かな足場を与えて下さったように思えます。
あとは、maris_stellaさんのおっしゃる「模様」ということを、私なりにきちんと理解できるように、他の本との記述などとも対比させながら考えてみたいと思います。
それと二進法の思い違いも正していただきまして…。私の頭の程度がバレバレでお恥ずかしい限りです。
今回もプリントアウトを暇を見つけてはながめたいと思います。

本当にどうもありがとうございました。

回答No.10

arukamun

０．９９９９……は無限小数ですが、無限小数もいくつかの種類に分類出来ます。
循環小数と、それ以外の無限小数に分けられます。
循環小数は、分母・分子の両方が整数の分数として表すことが可能になります。
（分母・分子の両方が整数の分数で表せる分数は有理数、表せないものは無理数となります。）
まず、
　０．１１１１……＝１÷９
になります。これは机上で割り算を行えば正しいことが分かります。
両辺を９倍すると、
　０．９９９９……＝１÷９×９
　　　　　　　　　＝１
算数レベルでの回答ですが、いかがでしょうか。
参考URLは工事中ですが、指定した分数が循環小数かどうかを検証出来ます。

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Playtown-Toys/2593/JavaScript/rational.html#cyclic

回答No.9

jmh

ちょっと思い出しました。
実数の作り方その２（収束する有理数列全体を考えて、行き先が同じモノを同一視するみたいな感じ）によれば、実数はもともと有理数列だから、
　０．９９９…＝（０．９，０．９９，０．９９９，…）
　　　　＝ limΣ９×１０＾ｋ （lim：ｎ→－∞、Σ：ｎ≦ｋ≦－１）
とするのが、やっぱり綺麗だと思います。
超実数体*Ｒ＝Ｒ^Ｎ／Ｆで
　０．９９９…＝（０．９，０．９９，０．９９９，…）
としたら、≠１で、１－０．９９９…は無限小超実数になるかも。ここで標準に戻って１－０．９９９…＝０とできるのかもしれないです。
自信ないです。

回答No.8

20012

私も，marris-stellaさんのＤｅｄｅｋｉｎｄの切断（正しくはＤｅｄｅｋｉｎｄの定理？）の説明には
理解不能な点が多々あります．

「数直線が、点（数）によって「切断」されるというのが、数直線で，数の全体（実数）を定義した場合に起こる、実数の性質なのです。実数は，特定の数（点）で、それより大きい数の集合と、小さい数の集合に二分されるので、これを「切断」というのです。 」

jmhさんの指摘のように，論理構成があべこべだと思います．
実数を定義するのに，Ｄｅｄｅｋｉｎｄは「切断（Ｓｃｈｎｉｔｔ）」の概念を持ち出し，
その切断が「上組に下端があり下組に上端がない」か，
「上組に下端がなく下組に上端がある」の，いずれかに限られることを導いているのです．
「これを「切断」というのです。 」も怪しい表現で，
Ｄｅｄｅｋｉｎｄが言っているのは「切断の種類が1種類に限られる」
（どちらかに端があり他方に端がないタイプ）ということのはずです．
さらに，「特定の数（点）で、それより大きい数の集合と、小さい数の集合に二分される」
というだけなら，有理数だけからなる集合でもそのように二分することが出来ます．
しかしそれを「Ｄｅｄｅｋｉｎｄの切断」と呼ばないことは自明です．

>ａ＝ｌｉｍ（ｎ→∞）［１－１０^（-n）］　は，限りなく１に近づくが、１には決してならないのですが、こういう状態を、「１に収束する」と言い、「極限値は１」であると表現し、極限値の意味で、ａ＝ｌｉｍ（ｎ→∞）［１－１０^（-n）］＝１　と書くのです。

収束に関してはε-δ論法で説明しないと厳密性を欠くでしょう．
「限りなく１に近づくが，１には決してならないのですが，こういう状態を」
といった情緒的表現で収束の定義を説明しない方が，この場合はいいと思いますよ．

回答No.6

jmh

maris_stella 様に質問と反論です。これらの質問と反論は、私には殆どすべてデタラメに見える記述の中から iwam 様の「手がかり」になりそうなものだけを抜粋したものです。なので「アドバイス」とさせてください。

> デデキントには「切断」
このあたりの記述は、とても奇妙です。デデキント切断は「さぁ、これから実数を作ろう」という話しですよね。なのに、すでに天賦の"実数"直線があるような書き方になってます。

> １－Ｘ（Ｌ）は０ではありません。
可能なら証明してください、または証明されているのを見たと言ってください。個々のＡ[１]＝０．９、Ａ[２]＝０．９９、Ａ[３]＝０．９９９、…は、どれも≠１ですが、lim Ａ＝１です。従って１－lim Ａは０に一致します。

> ９が、「実無限」個、実際に並んでいると考えています。
「０．９９９９……＝１と定義する」という記述から、暗黙に『模様「０．９９９…」に続けて記号「＝１」を連結した記述が可能』となっていますから、「＝１」の代わりに「８」をおいても何も問題ないはずです。
模様「０．９９９…」に、模様「８」を連結した模様「０．９９９…８」は、どんな実数でしょうか。これは「０．９９９…」より大きいですか。また、それは何故ですか。
なお、これが実数でないということはあり得ません。なぜなら、「小数表現の数と実数が一体一対応となるように」わざわざ定義しているのですから、表現（模様）に対応する実数が存在する（定義されている）はずです。

回答No.5

jmh

アドバイスではなく、iwam 様と maris_stella 様へのお礼です。

> No.3でmaris_stellaさんが教えて下さった「実無限」と「可能無限」
> あたりに手がかりがありそうですので、そこら辺を探ってみたいと
> 思っています。

そうですか、頑張ってみてください。
私は、集合（濃度の話）・実数（Ｑの切断の話）・位相（開集合の話）や超実数体（*Ｒ＝Ｒ^Ｎ／Ｆ、実数列の話）などについて、ほんの少しずつ知っていますが、そこでの議論は、よく分からないです。お役に立てなくて申し訳ない上に、実は、私は、逆にココで教えてもらったコトが１つあります。これは、そのお礼のための「アドバイス」です。No. 476813 のタイトルも著者も不明の本は、シュヴァルツの「解析学」だったような気がしてきました（探してたんです）。ありがとうございました。

回答No.4

jmh

> この第1の等号は成り立つのでしょうか？
>
成り立つと思います（例えばＡは単調増大≦１なので収束しますから）。

私が「…」が極限を意味すると言ったのは…：
「…」を現実の紙に書いて計算するときのことを考えてください。現実には、有限桁までしか書けなくて「有限ｎ桁までは△△だから、この"無限"操作が完了したら○○だろうな…」と考えるのでしょう。
しかし、本当は無限筆算は完了するはずなく、
　９．９－０．９＝９、
　９．９９－０．９９＝９、
　９．９９９－０．９９９＝９、…
から帰納法か何かで『すべてのｎに対して１０Ａ[ｎ＋１]－Ａ[ｎ]＝９』を得たということでしょう。計算できていないのに、９．９９９…－０．９９９…＝９に辿り着くということは、ここではｎ→∞を考えているということではないのでしょうか？
…という意味でした。

私の言い方では「１０ｘ－ｘ＝９からｘ＝１」は、（例えば、収束すると分かっている数列の極限値を求めるテクニックの１つとして）正当にも見えます。
というより、これは「正当なのか？」に対する回答ではなくて、逆に「現実にこの方法でデキるのだから、ここには正しさがあるハズだ！」と考えた結果と言うべきかもしれません。

補足

ご回答ありがとうございました。

>（例えば、収束すると分かっている数列の極限値を求めるテクニックの
１つとして）正当にも見えます。
現在の私の数学力では何とも判断のしようがありません。
検討課題にさせて下さい。

>現実にこの方法でデキるのだから、ここには正しさが…
はい。でも私は「現実のこの方法」にギモンを持っているのです。
No.3でmaris_stellaさんが教えて下さった「実無限」と「可能無限」あたりに手がかりがありそうですので、そこら辺を探ってみたいと思っています。

回答No.3

maris_stella

＞もう一つあつかましいお願いなので恐縮なのですが、0.9999... = 1というのが「定義」であるなら、誰がどういう体系の中で定義しているか、ということが気になります。

これは、解析代数における常識ではないかと思います。当たり前すぎるので、明文では述べていないのだと思いますが、解析代数の教科書には、書いてあるのかも知れません。

明文で、こういうことを読んだのは、記憶にはっきりと残っているのは、ローラン・シュヴァルツの「解析学」か「解析代数」の教科書の第一巻の最初の当たりだったと思います。

（シュヴァルツというのは、ブルバキの中心メンバーです。……と言っても、知らない人が大勢いる可能性があります。ブルバキは、４０年ぐらい前に、フランスの中堅数学者たちが、数学の体系を新しく基礎付けようと、『数学原論』という、浩瀚な数学の教科書を書いた「著者名」で、これは複数の数学者の共同筆名です。シュヴァルツはそのブルバキの中心メンバーだったということです。シュヴァルツは「超関数」の理論を築いた人としても有名なはずです）。

これは、「数の表現」の話で、小数点で数を表現すると、曖昧なことが起こるので、「実数との一対一対応を保証するため、０．９９９……というように、９が無限に続く小数は、１と同じであると考えるというものです。

この場合、１と書いているのは、正確には、１．０００……と、０が無限に続いているものですし、２．５２４とかいう数があれば、これも、２．５２４００００００……と、０が後に無限に続いているものなのです。でないと、１と１．０は違うとか、１．０と１．０００も違うとかいう話が出てくる可能性があります。（実際、有効桁が問題になる実用の数学では、「有効桁」が違うと、別の数字になります）。

しかし、理論上、そういうことはおかしいし、小数によって実数を表現する場合、小数表現の数と実数が一体一対応となるようにしておかないと、小数で実数を表現すると、対応関係で話がずれてきたり、おかしくなる可能性があるので、定義で、上に述べたように、１は実は、１．００００……と０が無限に後に続くもの、０．９９９９……と９が無限に後に続く小数表現の「数」は、実は１であると決めるのです。

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「実数」とは何かというのは、定義が難しいのですが、初期の解析代数の考えでは、「数直線」を考え、この上の点が、一つの数を表現し、この点の集合が実数の集合であると考えたはずです。

デデキントには「切断」の概念があるはずです。数直線の上で、一つの点（数）を選ぶと、この点によって、数直線は、二つの部分（半数直線）に分割されるということです。例えば、１という数の点だと、１よりも大きい部分の数直線と、１よりも小さい部分の数直線の二つに分かれます。

数直線が、点（数）によって「切断」されるというのが、数直線で、数の全体（実数）を定義した場合に起こる、実数の性質なのです。実数は、特定の数（点）で、それより大きい数の集合と、小さい数の集合に二分されるので、これを「切断」というのです。

問題は、この二つの半直線において、切断に使った数（点）を、どちらの半直線に属することにするかです。大きい側に１が属するとすると、この１より大きい数の集合は、「一番小さい数」として、１が存在します。１を、下界と言ったように思いますが、記憶が定かでありません。つまり、１より大きい数の集合（半直線）には、下界があります。

しかし、この場合、１より小さい数の集合には、「一番大きい数」が存在するのかしないのかというと、「存在しない」というのが答えです。つまり、上界が存在しません。１を上界としてもよいのですが、１は、この１より小さい集合には含まれていないのです。

限りなく１に近い、一番大きな数が、この集合の上界だと言えそうですが、そういう数は、存在しないのです。つまり、限りなく１へと近づいてゆく数があるだけで、確定した数で、「一番大きい数」は存在しないのです。

１が、１より大きい数の集合に属する場合、この集合は、「閉集合」と言います。この場合、１より小さい集合は、「開集合」と言います。「閉集合」というのは、１が下界で、この集合が、下で閉じているからです。「開集合」とは、上界であるはずの１が、集合に含まれないので、限りなく１に近づいてゆくということがあるだけで、上界としての具体的な数は存在しない、つまり、より１に近い大きな数はと言えば、可能性に「開いている」ので、こう言うのだと思います。

こういうことは、解析数学の教科書や、集合論の教科書に標準的に出てくるはずです。「開集合」「閉集合」「コンパクト」などの概念は、解析代数と関係しています。

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小数での数の表現というのは、元々、小数で書いた数というのは、すべて「模様」なのです。この模様に、対し、１．１という模様は、実数の「１．１」と等しいというような確認があり、確認があった後は、１．１という小数の模様は、「１．１」という実数を表していることになります。

有限桁の小数の場合は問題なく一対一対応します。しかし、「無限桁」になるとどうなるのかで、０．９９９９……というような９が「無限」に続くような、小数表現の「模様」は、実数には、それに対応した数が「ない」ので、定義で、１であるとするのです。

上で述べましたが、１も１．０も１．００も、１．０００も１．００００も、小数表現の「模様」としては、皆、違った模様です。１と１．０は違うという人はあまりいません。しかし、小数の模様絵としては、「現に、１と１．０は別の模様」です。

有限桁の場合は、計算方法があるのかも知れませんが、「無限桁」になると、実数や数の定義の話になって来て、先にも述べたように、１とは、１．０００……と０が無限に続いている模様の省略形だと考える・定義するのです。

（１／３は、実数の演算での結果として実数として存在し、これは、小数で書くと、０．３３３３……のような「模様」になります。１／３に３を掛ける計算は実数の計算で可能で、この結果は１です。他方、小数の模様の０．３３３３……も、３を掛けると、模様としては、０．９９９９……のようなものになります。

１／３と小数の模様０．３３３３……は等しいと定義し、０．９９９９……の模様と１は等しいと定義すると、実数計算と小数での見かけの計算での整合性が出てくるのです。……このような定義において、小数における計算でも、矛盾が起こらないということが保証されるのです）。

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なお、０．９９９９……は、極限概念では定義されません。極限の場合も、同じ形に「見える」ので、そういう考え方が出てくるのですが、実は違うのです。極限での０．９９９９……を、仮に、極限値、Ｘ（Ｌ）と書きます。

すると、１－Ｘ（Ｌ）は０ではありません。０ではないので、これを、ｄｘと書きます。要するに、極限概念で、もしｄｘ＝０となるのなら、極限で、Ｘ（Ｌ）＝１と考えてもよいのです。しかし、極限記号「ｌｉｍ」で表現する場合のｄｘは、０に限りなく近づく数という意味で、これが０になれば、そもそも微分計算ｄｙ／ｄｘが成立しなくなります。

極限の場合の「無限」は、あるところで９があれば、その先にも９があるという意味で、「限りなく９を続けることが可能である」という意味で、「可能無限」と言います。それに対し、小数の模様の０．９９９９……は、「可能である」のではなく、９が「すでに無限に並んでいる」という無限で、この無限を「実無限」と言います。

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（追加の話ですが、０．９９９９……と「無限に」９が続くと言ったとき、この「無限」とは、どういう無限かという話が出てきます。１と０．９９９９……は「違う数」であるとした場合、この「無限」が、普通の「無限」と違って来るのです。普通は、この無限は、「アレフ０の無限」、「可付番無限・可算無限」という実無限です。

この無限でない場合、「もっと濃度の高い無限」（または、「別の種類の無限」）の場合だと、１と０．９９９９……は「違う数」だと言えるのですが、そういう数学は、カントールの無限集合論とも違った話になって来ますし、普通の数学ではなくなるので、「非－標準分析（non-standard analysis）」が必要になるので、「超準解析（non-standard analysis）」の数学になるのです［先に「準超解析」と書きましたが間違いです］）。

有理数や実数は、四則演算が可能です。それは、有理数も実数も、集合としては、「体」で、それぞれ「有理数体」、「実数体」であるからです。これらの「体 field」は、加算と乗算を二つの「算法」とする体なのですが、体とは何かは、「群 group」や「環 ring」の定義と共に、解析代数の教科書で、実数や有理数が、体であるということの説明で、定義として出てきます。

何か間違いを書いている可能性もあるので、「自信なし」にします。解析代数や集合論や群論などを勉強されると正確なことが分かります。

補足

素人のあつかましいお願いにご回答いただき、本当にありがとうございました。
「解析学の常識....」
「見た目は同じでも、実数との対応で定義された0.9999....と、極限概念で定義された0.9999....は違ったもの」
「実無限」と「可能無限」…。
キーワードをたくさん提示していただいて、またまたたくさんのウロコがはがれたようで、はがれたウロコのわりにはほんの少しだけですが、見通しがよくなったように思います。
シュヴァルツの「解析学」は絶版のようですが、いろいろ調べてみます。ありがとうございました。超準解析は、私にはまだまだ高嶺の花といった所ですが、何年か後にはその世界にも足を踏み入れられるよう頑張りたいと思います。

え～、あの～、その～、あつかましついでに、もう少しお聞きしてもよろしいでしょうか。
お答えいただいた「----...」で区切られた最初のセクションの最後の段落に
「...小数表現の数と実数が一対一対応にしておかないと...」
とあるのですが、1.0000....という小数表現も0.9999....というそれも、どちらも実数1に対応するのであれば、それは「一対一」にはならないのではないでしょうか。
決して揚げ足とりではなく、実は私はこの質問の直前にgooにそういった質問をしておりまして（No.486378）、その質問の意図はそういうことだったのかと、今さらながらに気付いた次第でして…。
つまり、4/33の小数表現は0.121212...のひと通りですが、2/3の場合は1.50000...と1.49999...のふた通りの表現が可能ということになります。
それは特に問題にはならないのでしょうか。

もう一つ、0の小数表現は定義されているのでしょうか。
0も0.0000...というと定義されるのか、0は特別で0のままなのか…。
これは、「0.9999...という数で末尾が無限のかなたに「8」になる数というのはありえるのだろうか」と考えててわけがわからなくなり（末尾が「7」や「6」でも同じく頭がウニになってしまうので）、二進法で考えればよいかも、と思った時に、
　　もし0が0.0000...と表現されるのならば、
　　二進法における0.0000...は = 0 なのか、
　　それとも十進法における 0.9999... と同じで
　　0.0000... = 1 なのか、
どちらに定義されるのか疑問だったからです。
何だかこれは完全に的をはずした疑問かもしれませんが…。

お時間がある時がございましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。

回答No.2

jmh

「０．９９９…」とは、何でしょう？
私の考えは、こうです:
　『「０．９９９…」とは、無限数列Ａ＝（０．９，０．９９，０．９９９，…）
　　の極限値である』

さて、問題の証明「１０ｘ－ｘ＝９」の等号が言っていることは、
--実際に紙と鉛筆で計算すると、有限桁までしか書けないので--
次のようなことに_見_え_ま_す_:
　１０lim Ａ[ｎ] － lim Ａ[ｎ] ＝ lim (１０Ａ[ｎ＋１] － Ａ[ｎ])
　　　　　　　　　　　　　　　　＝ lim ９
　　　　　　　　　　　　　　　　＝ ９　　（ただし、lim は ｎ→∞）
ここでの「第一の等号は正しいのか？」が“真の問題”ということで、よいですか？

補足

ご回答ありがとうございました。

0.9999... = 1問題をめぐっては、結局0.9999...をどのように定義するかが問題となるようで、おっしゃるような無限数列の極限として定義されるのであれば、1になることは納得できます。
私の伺いたかったことは、「いわゆる」0.9999....に四則演算をしちゃっていいの？ということで、このいわゆるという所が問題なのでしょう。ここには0.9999....に対する何の定義もないわけですから。
ですから、どのように0.9999....を定義すれがこの演算が成立するのかという風に言い換えることもできると思います。

で、imhさんのご指摘ですが、確かに「無限数列の極限」という定義においては「10x - x = 9」はlimを含むその式で表されるような気がします。
この第1の等号は成り立つのでしょうか？

回答No.1

maris_stella

＞　x = 0.999...と置き、10x - x = 9 から x = 1

この計算は、中学生などを対象にした、０．９９９９……の無限小数と１とが等しいことの証明によく出てきますが、これは正確には間違いです。

０．９９９９……という９が無限に続く、無限小数は、実数の小数点表現のための一意性のため、１と同じ数であると「定義」されています。上のような証明計算は、中高校生を納得させるために、または中高校生が自分で思いついた証明で、こういう計算をしてはならないのです。（しても構いませんが、実際には、計算は成立していないのです）。

０．９９９９……とは、定義上、１のことで、１を１０倍すると、１０になり、１０は、定義からまた、９．９９９９９……と等しいとなるのです。９＋１＝１０だからです。

こういうかけ算が成立するという数学は、「準超解析」という数学になるのですが、これは、「普通でない分析」というような意味を難しく訳しているので、要するに、実数と小数とのあいだの表現の一致のため、０．９９９９……＝１と「定義」するので、上のようなかけ算は、標準的な数学では、実は、無意味なのです。

ただし、微分などの「極限概念」の場合は、似たように見えますが、計算ができます。

例えば、ｙ＝ｌｉｍ［ｘ→０］｛１－ｘ｝　と定義すると、
１０×ｙは、定義でき計算もでき、それは、「１０×０．９９９９……」と同じ式に見えます。しかし、これは、極限概念で、「無限」ではないのです。

微分は、「可能無限」での無限なのであり、０．９９９９……＝１と定義する場合は、９が、「実無限」個、実際に並んでいると考えています。

もう少し言いますと、「有理数の無限循環小数」は、実は、整数を整数で割ることで出てきます。元々が整数のあいだの四則演算で出てきているものなので、こういう無限小数には、四則演算が可能です。また、Ｎ乗根の演算も加えた意味での「無理数」も、四則演算が可能です。

しかし、０．９９９９……というのは、本来、「数ではない」のであり、これは、数ではなく、一種の模様で、これを、１に等しいと定義しているので、数として扱えるのです。（０．９９９９……－０．５＝０．４９９９９……　のような計算ができるように見えますが、これは１－０．５＝０．５で、０．５＝０．４９９９９……という意味なのです）。

補足

すばやいご回答ありがとうございました。お礼が遅くなりまして申し訳ありません。

「有理数の無限循環小数には四則演算が可能」という点は目ウロコでした。
x=0.121212...を分数表記する際は 100x - x = 12, x = 12/99 = 4/33
で求めることがあり、この計算はなんで許されるのかと疑問を思っていた所でした。0.9999...も無限とはいえ循環しているのだから、それを同じように計算しているだけではないかと思っていましたが、確かに0.9999....も0.4999...も分子÷分母で出てくる数字ではないですよね。

もう一つあつかましいお願いなので恐縮なのですが、0.9999... = 1というのが「定義」であるなら、誰がどういう体系の中で定義しているか、ということが気になります。もしその辺のところご存知であれば教えていただけませんでしょうか。
いろんな人がいろんな体系で定義をしているのであればできる限り知りたいと思います。（ちなみに私は今デデキントの「数について」をひ～こらいいながら読んでおりますが、同じあたりをうろうろでなかなか先に進めません）。