- ベストアンサー
絶対値を含んだ計算方法と性質について
- 絶対値を含んだ計算方法について質問です。具体的には、絶対値を含んだ計算の特性や微分に関する性質を知りたいです。
- 絶対値が絡む計算方法についての質問です。主に、絶対値を含んだ計算式の微分に関しての性質について詳しく教えていただきたいです。
- 絶対値を含んだ計算方法の性質や微分について教えてください。具体的には、絶対値を含んだ計算の特徴や微分の公式について知りたいです。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
ANo.2のコメントについてです。 > そもそも長さが０以下の数は存在するのでしょうか？ y=|x| のグラフを描いてみて下さい。|x|≦0 である実数xはひとつだけ存在する。x=0です。 さて、さらに y=max(x,c) (cは定数） のグラフを（たとえばc=2,1,0,-1のそれぞれについて）描いてみて、それができたら y=max(|x|,c) (cは非負の定数) のグラフを（たとえばc=2,1,0のそれぞれについて）描いてみましょう。 > ｂ１、ｂ２は実数です やっぱり実数のお話でしたか。だとするとANo.2で申し上げた通り、場合分けの仕方がおかしいんですね。cを非負の定数として、 f(x) = max(|x|,c) の導関数 f'(x) = dmax(|x|,c)/dx を考えます。max(|x|,c)のグラフはほとんどの場所では滑らかだけれども、2箇所だけ折れ目がある。（c=0の場合だけは折れ目は1箇所ですが、しかしどっちにしても、）折れ目以外のところでは微分できますが、xが丁度折れ目の所にある場合には、「Δx→0としたときの(f(x+Δx)-f(x))/Δxの極限」がΔx＞0のときとΔx＜0のときとで一致しないから、微係数は存在しません。 従って、「xが折れ目の所にある場合とそれ以外」に場合分けするのなら意味があります。 (a) xが折れ目の所にある場合、 f'(x)は定義されない。 (b) それ以外の場合、 f'(x)は定義され、f'(x)=(具体的に)×××である。 という風にです。 以上を確認してからANo.1を再読願います。
その他の回答 (2)
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
ANo.1のコメントについてです。 max(|b1|,|b2|)=0 なのだから、 d (max(|b1|,|b2|)=0)/db = d0/db つまり、定数0を微分しろと言っている訳です。 で、b1, b2が実数とか複素数だと考えると、もっと話がおかしくなってきます。というのは、 max(|b1|,|b2|)=0 であるということから、 |b1|≦0 かつ |b2|≦0 が成り立っています。しかし|b1|, |b2|は絶対値なんだから、 |b1|≧0 かつ |b2|≧0 も成り立つ。ゆえにb1とb2は b1=b2=0 という定数です。なので、b1もb2も0に固定従ってベクトルbも b=[0,0]という定数です。。 言い換えれば、 d (max(|b1|,|b2|)=0)/db = d0/d[0,0] ということで、これは微分のテイをなしていない、意味不明の式ですね。 要するに、微分を考えようと言うときに「max(|b1|,|b2|)=0の場合とそれ以外」に場合分けするのが不適切なんです。どう扱えばいいかはANo.1の「ご参考まで」の通り。 なお、b1, b2が一体何なのか（数なのか、それともなにか抽象的な対象なのか）という重要なポイントについて依然説明がありませんので、この回答も「参考意見のアドバイス」ということにしておきます。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
二つ目のご質問は、まじめに場合分けをやり尽くす根気の勝負でしょう。計算をいっぱいやって、グラフをいっぱい描いて、絶対値やsgnやmax, minなど、条件分岐の機能を持つ重要な関数（超関数論や演算子法、あるいはフーリエ変換には不可欠）の意味と扱い方に慣れる練習です。 なので、最初のご質問だけ考えます。 max(|b1|, |b2|)=0 であるという。で、この定数を何かで微分するんですか。当然、結果は0に決まってる。 あまりにもクダラナイ、おかしな設問です。何かお間違えなのではないかなあ。 ＝＝＝＝ …と、でもこれだけじゃ素っ気ないんで、ご参考までに、仮に 「max(|b1|,|b2|)=0 というのは何かのマチガイであって無視して良く、b1, b2が実数であったらどうなるか」という話を考えてみましょうか。 b=[b1, b2] は、おそらくベクトルなんでしょう。二つの成分b1, b2を持つベクトルbを考える。ここではb1, b2が実数の場合だけやります。で、 (d/db)max(|b1|, |b2|) すなわちベクトルbでスカラー関数max(|b1|,|b2|)を微分するというのは、ベクトル v=[v1,v2]=[(∂/∂b1)max(|b1|,|b2|), (∂/∂b2)max(|b1|,|b2|)] を計算するということです。まず v1=(∂/∂b1)max(|b1|, |b2|) を取り上げます。偏微分なんで、b2を定数だと思って、微小量Δxによってmax(|b1+Δx|, |b2|)がどう変わるかを見る。 (1) |b1|＜|b2| のときは max(|b1+Δx|, |b2|)=|b2| はΔxの影響を受けない定数だから、 v1=0 である。 (2) |b1|＞|b2| のときは max(|b1+Δx|, |b2|)=|b1+Δx| である。さらに場合分けします。 (2-1) (b1+Δx)＞0の場合は max(|b1+Δx|, |b2|)=b1+Δx だから (max(|b1+Δx|, |b2|) - max(|b1|, |b2|))/Δx = 1 従って、 v1=1 (2-2) (b1+Δx)＜0の場合は max(|b1+Δx|, |b2|)=-(b1+Δx) だから v1=-1 である。 (3) |b1|=|b2|のときは微分不可能です。その場所で、max(|b1|,|b2|)のグラフがカクンと折れてるからです。ですが、このご質問でやってる数学では、微分不可能な点が孤立してぽつんとあるのは見ないふりをすることになっているようです。 まとめると、興味があるのは|v1|ですんで、|v1|について |b1|＜|b2| なら|v1| = 0、|b1|＞|b2| なら|v1| = 1、|b1|=|b2|の時の話は聞かないでくれ。 となります。v2についても同様に考えれば、 |b1|＜|b2| なら|v2| = 1、|b1|＞|b2| なら|v2| = 0、|b1|=|b2|の時の話は聞かないでくれ。 という結果になりますから、結局 |v1|+|v2|≦1 （ただし、|b1|=|b2|の時の話は聞かないでくれ） が言える。もちろん、以上は「もし max(|b1|, |b2|)=0なんて条件が無かったら」という話ですよ。
補足
（２）については、なんとか自分で場合分けをして、導出できました。 （１）については、情報が正確でなかったので補足します。 今回はとりあえず、a）についてのみを質問させて頂きました。 この情報補足でも、ｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜）＝０ はおかしいのでしょうか？ （１）は未だ理解できないので、この情報補足で何かアドバイスを頂ければありがたいです。 ｂ＝[ｂ１，ｂ２] ｈ（ｂ）＝ ｃ － （ｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜））＞＝０ ｖ ＝ [ｖ１，ｖ２] ＝ ｄ ｈ（ｂ） / ｄ ｂ とする。 このとき、ｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜）＝０とｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜）＞０に場合分けをする。 a）ｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜）＝０ のとき ｜ｖ１｜＋｜ｖ２｜＜＝１ b）ｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜）＞０ のとき ｜ｖ１｜＋｜ｖ２｜＝１ 但し ｖi＞＝０ （ ｂi＝ｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜）のとき ） ｖi＜＝０ （ ｂi＝－ｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜）のとき ） ｖi＝０ （ ｜ｂi｜≠ｍａｘ（｜ｂ１｜，｜ｂ２｜）のとき ） となる。
補足
ｂ１、ｂ２は実数です。 ＞max(|b1|,|b2|)=0 ＞|b1|≦0 かつ |b2|≦0 そもそも長さが０以下の数は存在するのでしょうか？ そうでないと確かにｂ１もｂ２も０にならざるを得ないですね。