実数 x を 0 (ゼロ)で除す(x/0)演算に関する質問

質問

現在の四則演算体系の数学では，実数 x を 0 (ゼロ)で除しては，
いけないことになっています．なぜいけないのかは，ここでは論じない
ことにします．これは，その理由を理解している方に向けての質問です．
実数 x を 0 (ゼロ)で除す(x/0)演算に関しては，現在までに
有効な演算体系が構築されていないように感じます．
実数 x を 0 で除す演算を，ここでは仮に「零除演算」(れいじょえんざん)
と呼ぶことにしましょう．そこで，以下の質問です．
▲ 質問(1): 零除演算の演算体系を構築する目的で研究している研究機関が
世界のどこかに存在しますか？
▲ 質問(2): 零除演算の演算体系を構築する目的で研究している研究サークルの
ようなものが日本のどこかに存在しますか？
▲ 質問(3): 零除演算の演算体系を構築する目的で発表された研究論文が
世界・日本のどこかに存在しますか？
なぜ，このような質問をするのかと言うと，興味ある問題だからです．
私も，多少とも研究，考察をしていますが，完全なものは完成してはいません．
定義，公理，演算規則などを決めて，四則演算上で矛盾のない体系が出来れば，
そこで一応，完成ということにするつもりです．無矛盾の証明はそれからです．
何か知っておられる方，教えて下さい．

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

零除演算 = divide by zero と解しました。
ふつうは divide by zero = ERROR ! なので、その回避策を模索しますね。

以前ですが根本的な戦略は無いものかと検索したことがありました。ご存知でしょうけど、口火の火種と思ってください。

　http://www.badscience.net/?p=335
>Bad Science /
に Dr. Anderson という名前が出てます。(IE6 で見ると崩れたレイアウトになるようです)

このかたの論文をブラウズしたことがあります。
　http://www.bookofparagon.com/Pages/Papers.htm
>Book of Paragon
からの pdf 論文へのリンク。
　http://www.bookofparagon.com/Mathematics/PerspexMachineVIII.pdf
>PERSPEX MACHINE VIII:AXIOMS OF TRANSREAL ARITHMETIC
　http://www.bookofparagon.com/Mathematics/PerspexMachineIX.pdf
>PERSPEX MACHINE IX: TRANSREAL ANALYSIS

結局、有効な読みができずに放棄しました。お粗末.... 。

お礼

早速，珍しい資料と論文を教えていただき，感謝します．
pdf 論文はすぐに入手しました．また，おもしろそうな URL も
これから，じっくり調べて見ます．ありがとうございました．

回答No.6

adinat

なんでこんなつまらないことを考察するのかわからない。質問の意図を興味ある問題だから、と書かれているが、どこがどう興味深いのか書かないと、小学生が「何で零でわっちゃいけないの？」と聞いているのとなんら変わりない。ご質問の実数xを実数0で割る演算、というのを文字通り解釈すれば、質問１～３はすべてばかげている。ここで長々と説明できないと書かれているが、であれば期待する答えなど得られないと思いますが、いかが。

代数的な考察をしておくと、零で割ってはいけない、と書かれているが、それは嘘で、別に零で割ってはいけない理由などなにひとつない。ただ意味のある四則演算を定義しようと思えば、零での除算を除いておくべきだ、というただそれだけのこと。一般の整域、あるいはもっと一般の環の全商環を考えるとき、零因子を除くのは意味のある代数的対象を得るためであって、零因子を含む商環では、すべての元を同一視する零環にならないといけないことはおそらくご存知でしょう。 であれば、ふつうの実数に対して四則演算を拡張して、零除演算を導入することはまったく無意味なことは質問者様ならお分かりでしょう。

それでもなお零除演算を導入する意味があると主張されるのであれば、その理由を簡単でもいいから説明していただきたいものです。

お礼

ご回答ありがとうございました．参考になりました．

＜それでもなお零除演算を導入する意味があると主張されるのであれば、
＜その理由を簡単でもいいから説明していただきたいものです。

そういうものを構成してみたいという魂の働きかけがあるのです．
意味があるか，ないかの問題ではないのです．美しい数学理論を作り眺めたいという希望です．

回答No.5

mmk2000

質問内容から推測すると学者さんのように思われますので、自分のようなずぶの素人が申し上げるのも変ですが、ひとつイメージを持ったもので述べさせていただきます。

素人なりに単純に考えるとy=1/xのグラフを考えた時にx=0付近のyの値の連続性がこじつけることができればOKな気がします。
不連続な点を連続とみなせるだけのこじつける力を全く持っていないので申し訳ないのですが
x→-0 lim y =-∞
x→+0 lim y =+∞
ということは、宇宙のブラックホールみたいなものがあってワームホールを通ってホワイトホールから出てきました！みたいな感じを構築するんですね…
でも出てきたら元の宇宙（実世界としましょう）とは違う宇宙（別世界としましょう）に出てくるわけなので、ここでは今までとは全く違う世界で、実数とか複素数などの常識が通用しません。ここで扱うのは別数とでもしましょう。つまり公理系が今までのものとは全く別になります。
また、別世界からブラックホールを実世界に戻ってきたら＋∞から降りてきた！

小学生レベルの発想ですが、単純な発想で状況が打開できる可能性も否定できない！と言い訳をしてみたりします。。。

すみません。

お礼

ご回答ありがとうございました．貴方のような発想，思索，想像，連想が大事なのです．
お若い方なのであれば，自然科学関係を志す資質がおありのようにお見受けします．
あとは，数学，物理学，などの基礎的な知識を身につけてゆけば，将来，有望です．そのように感じました．
「零除演算」に関しては，ここでは長々とは論じられませんので，残念ですが，これで失礼します．ご投稿ありがとう御座いました．

回答No.4

funoe

超準解析のことでしょう。
実数体に無限小、無限大を付加したものです。
数体系として確立しているようです。

０（ゼロ）そのものではないですが、０と同一視できるような無限小での除算は定義されています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90

お礼

ご回答有り難う御座いました．funoeさんが教えてくれた URL は
フリー百科事典「ウィキペディア(Wikipedia)」です．これは，私も時々
見ますが，間違いの記述が含まれている可能性も皆無ではないので，
気をつけています．ご指導ありがとう御座いました．

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

上記、（１）～（３）のいずれも存在しないと思います。

それも、０で除算してはいけないというのが、単に、
x / 0 = y と仮定すると、 0y = x となって矛盾
というだけのことにとどまらないからです。
これだけの事実であれば、「０とかけ算することである実数になるような数を導入する」という拡張が可能なように見えます。
しかし、この拡張は、実数の乗法における零元の否定に他なりません。
また、実数上の乗法・加法は、分配法則が成立することが仮定されていますから、これは、自動的に、加法の零元の存在否定につながります。

とすると、「加法と乗法に対する全順序可換体」である、実数の定義すら満たさなくなってしまいます。
ということで、少なくとも、実数の加法・乗法の自然な拡張として、０で割ることを導入することはできないことになっています。

超準解析といわれる分野では、無限小超実数や、無限大超実数を導入して、雰囲気はそれに近いわけですが、これでも、１を（異なる）無限小超実数で割ると、（異なる）無限大超実数になるということで、０で割ることはできないようです。

０で割ることを導入すると、零元が存在しなくなり、そもそも（数学でいう）体が構成できないのではないかなと思います。

お礼

ご回答，ありがとうございました．
質問（１）～（３）が，いずれも存在しないという事が分かっただけでも
私としては，有意義な進歩です．お教えいただいた「超準解析」という分野を，これから少しずつ勉強してみます．

回答No.1

Kules

そういう難しいことにはとんと疎い素人ですが素人意見をば。
確かに「負の数の平方根は存在しない」はずだったのが虚数の存在を定義することであらたな数学や物理の世界が大きく広がっていったことを考えれば、「零除演算」がきちんと定義できることで新たな数学の世界が広がるかも知れませんよね！
具体的には1/0=ю（ロシア語の「ユー」だそうです。これまで演算子として使われていないであろう文字を選んだだけなので特に深い意味はありません…）のようなものを定義して四則演算・微積などを定義していく形でしょうか？微分積分ができればかなりいろいろ応用していけそうですね。
全然質問の答えになってなくて申し訳ないです…私も少し興味があります。よろしければあなたの考察をほんのさわりだけでいいので教えていただきたいな、と思いました。

お礼

ご回答ありがとうございます．学問の世界・数学の世界は，素人であろうが
玄人であろうが，そのような事は，いっこうにかまいません．
要は，興味を持ち，想像力を発揮して考えることこそ大事です．
私が，いま考えている方法は，x/0 が１つや２つの有限個ではなく，
x/0 の集合の濃度が「連続体の濃度」乃至，それ以上の高い濃度をもつ場合を考察中です．
残念ながら，ここでは，これ以上のことを申し述べられません．そういう場ではないので，．．．
興味を持って頂いて，ありがとうございました．