数学の問題を教えてください

質問

3番の問題を教えてください

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

まず，各項をわかりやすい形に表してみます。

初項　(1/2)*1
第2項　(1/2)*(1+(-1/2))
第3項　(1/2)*(1+(-1/2)+(-1/2)^2)
第4項　(1/2)*(1+(-1/2)+(-1/2)^2+(-1/2)^3)
……
第n項　(1/2)*(1+(-1/2)+(-1/2)^2+(-1/2)^3)+……+(-1/2)^(n-1))

となります。
つまり一般項（第n項）a(n)は
a(n)=(1/2)*(1+(-1/2)+(-1/2)^2+(-1/2)^3)+……+(-1/2)^(n-1))
=(1/2)(1-(-1/2)^n)/(1-(-1/2)　　（∵カッコ内は初項1で公比が-1/2の等比数列の和）
=(1/2)(1-(-1/2)^n)/(3/2)
=(1/3)(1-(-1/2)^n)

初項から第n項までの和は
Σ<k=1,n>((1/3)(1-(-1/2)^n))
=Σ<k=1,n>(1/3)-Σ<k=1,n>(1/3)((-1/2)^n)
　（※後半の和で，初項は(1/3)*(-1/2)=-1/6である事に注意）
=(1/3)n-(-1/6)(1-(-1/2)^n)/(1-(-1/2))
=(1/3)n-(-1/6)(1-(-1/2)^n)/(3/2)
=(1/3)n-(-1/9)(1-(-1/2)^n)
=(1/3)n+(1/9)(1-(-1/2)^n)

お礼

ご丁寧にありがとうございした！
とても助かりました。

回答No.1

gamma1854

※ 「等比数列」に関する問題です。
a[n]=Σ[k=1~n]-(-1/2)^k ゆえ、
a[n]=(1/3)*{1 - (-1/2)^n}.
これより、
S[n]=Σ[k=1~n]a[k]
=(1/3)*Σ[k=1~n]{1 - (-1/2)^k}
=(1/3)*【n - (-1/2)*{1 - (-1/2)^n}/{1 - (-1/2)}】
=(1/3)*【n + (1/3)*{1 - (-1/2)^n}】.
です。