数学の微分方程式の問題について教えてください。

質問

やってもらいたい問題は、２番の問題です。

答えが載っているので、途中式お願いします。
２番の問題です。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

t分後にx℃になるとすると、温度の降下速度は、dx/dt，周囲の温度との温度差は、x－10
降下速度は温度差に比例するから、比例定数a(a≠0)とすると、
dx/dt＝a(x－10)

∫dx/(x－10)＝∫adt
log|x－10|＝at＋C＝log(e^c・e^at)
±e^c＝Cとおくと、
x－10＝Ce^atより、ｘ＝Ce^at＋10　……(1)

4分後に70℃になったから、ｔ＝4，ｘ＝70を(1)に代入して、
70＝Ce^4a＋10より、C＝60/e^4a＝60e^(-4a)
よって、ｘ＝60e^(-4a)・e^at＋10　……(2)

ｔ＝0のとき、ｘ＝100（沸騰した100℃）だから、(2)に代入して、
100＝60e^(-4a)・e^0＋10
e^(-4a)＝90/60＝3/2
両辺の対数をとると、
-4a=log(3/2)より、
a＝(-1/4)log(3/2)＝(1/4)log(3/2)^(-1)＝log(2/3)/4　……(3)

60℃のときのｔを求める。

(2)にx＝60を代入すると、
60＝60e^(-4a)・e^at＋10
50＝60e^a(-4＋t)より、e^a(-4＋t)＝50/60＝5/6
両辺の対数をとると、
a(-4+t)＝log(5/6)
at＝4a＋log(5/6)より、
ｔ＝4＋(1/a)log(5/6)　これに(3)を代入して、
ｔ＝4＋{4/log(2/3)}・log(5/6)
＝{4log(2/3)＋4log(5/6)}/log(2/3)
＝{4log(2/3)・(5/6)}/log(2/3)
＝4log(5/9)/log(2/3)

計算を確認してみてください。