数学の組み合わせの問題

質問

4種類のジャムがよりどり3個セールで売られている。同じジャムを複数選んでも良いとすると、3個のジャムの組み合わせは□通りである。

こちらの問題を解説いただきたいです。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

4種類のジャムをA,B,C,Dとする

解法１
3個がすべて同じ種類のとき、A,B,C,Dのいずれかを3個選ぶから4通り
3個がすべて違う種類のとき、4Ｃ3=4通り
2個が同じ種類で、1個が違う種類のとき、2個同じ種類のものを選ぶのが4通りで、残りの1個を選ぶ方法が3通りあるので、4×3=12通り
求める組み合わせの総数は、4+4+12=20　20通り

解法２
A3個を選んだ場合をA^3、A2個とB1個を選んだ場合をA^2Bというように表記すると、組み合わせの総数は(A+B+C+D)^3を展開した際の異なる項の数に等しい。
(A+B+C+D)^3=A^3+B^3+C^3+D^3+3(A^2B+A^2C+A^2D+B^2A+B^2C+B^2D+C^2A+C^2B+C^2D+D^2A+D^2B+D^2C)+6(ABC+ABD+ACD+BCD)　　以上20種類の項があるから　20通り

解法３
相異なる４種類のものから重複を許して３個取る場合の組み合わせの総数だから、重複組み合わせの公式から、4Ｈ3=6Ｃ3=6・5・4/3!=20 20通り

なおご質問のように結果の数字だけ記入すればよい問題なら、解法3が効率的でしょう。

回答No.4

asuncion

もしかして、4倍しなくてよかったのかも…

回答No.2

asuncion

ああ、もしかして、他の種類を主役にしたとき、
ダブって数えてしまってるのがあるかも、です。

回答No.1

asuncion

4種類のジャムをa, b, c, dとする。aに着目して、すべての組み合わせを書き並べてみる。

i)aが3個のとき
(a, a, a)の１とおり

ii)aが2個のとき
(a, a, b), (a, a, c), (a, a, d)の３とおり

iii)aが1個のとき
(a, b, b), (a, b, c), (a, b, d), (a, c, c), (a, c, d), (a, d, d)の6とおり

iv)aが0個のとき
(b, b, b), (b, b, c), (b, b, d), (b, c, c), (b, c, d), (b, d, d), (c, c, c), (c, c, d), (c, d, d), (d, d, d)の10とおり

i)～iv)より、aが主役のときは1 + 3 + 6 + 10 = 20とおり
他のどれを主役にしても上記は成り立つから、
求める組み合わせは20 * 4 = 80とおりだと思う。