円運動について

質問

高校生のものです。
円運動している列車にひもが天井からつるしてありそこに、質量mの小球がついている。
列車内から観測して、列車による遠心力と重力の見かけの重力をg'とする。
このときひもは鉛直方向からθだけ傾いて静止していた。
そこで観測者が列車の進行方向と同じ向きに小球を速さuで押したら円運動した。

ある問題から抜粋したのですが、このとき円運動は初めθだけ傾いて静止していたところを軸として半径dsinθになるようです。
なぜこのようになるのでしょうか？
教えてください。

回答No.2

sanori

こんばんは。

結構簡単な話です。

列車の円運動による遠心力と地球の重力との合力を、新たに「重力」と呼ぶことにします。

「上」とか「下」という言葉がありますが、これは本質的には、重力の方向と同じ方向を指す言葉です。
すなわち、新たな「重力」というものを考えるとき、
その「重力」の方向と同じ方向について「上」「下」という概念を考えることはできるわけです。
すると、「θだけ傾く」という言葉を、新たな「重力」のもとで考えれば、

「まっすぐ垂れ下がっている」

ということになります。
θは、もとの重力の方向と新しい「重力」の方向との差を補正するものにすぎません。
ですから、そのまっすぐの位置（θと同じ方向の位置）を中心として円運動をするのは、対称性の観点から言えば、当たり前のことなのです。

小球の円運動の半径の大きさが　ｄsinθ　になるのは、おわかりかと思います。
（ｄって、ひもの長さのことですよね？）
θの方向と同じ方向が、新たな「重力」のもとでの「上」「下」です。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。
問題を勘違いしていたのが間違いでした。
普通の状態（重力が鉛直方向に働く）でひもをθだけ傾けて押すのと一緒のことですね。このとき当然円運動するに決まってるので。
実に簡単な話でした。

回答No.1

e_o_m

＞このときひもは鉛直方向からθだけ傾いて静止していた。
＞そこで観測者が列車の進行方向と同じ向きに小球を速さuで押したら円運動した。
と書いてありますが、θだけ傾いて静止している小球を押しても単振動するだけなので、鉛直方向にひもを垂らした状態で進行方向と同じ向きに押したということで宜しいですね？

電車は左周りに動いているとします。
この時小球には文中に書いてあるように、鉛直下方向から反時計回りにθ傾いた方向に見かけの重力g'が働いています。
このθ方向の軸が鉛直方向になるように図を書き換えてみたとき、紙面にたいして鉛直下方向に重力g'が働いている空間（慣性系）となりますね。
これは普段扱っている力学の中で重力をg'に変えただけで後は全く同じ空間（慣性系）として扱っていいのです。
この紙面上で小球は紙面の鉛直下方向から時計回りにθ回った位置にあり、ここの位置から紙面に対して垂直方向にuで押されます。
紙にこの状況を書いてみれば見覚えがあると思いますが、糸が描く軌跡は円錐になりますね。すなわち物体と紙面上の鉛直方向との距離dsinθの円運動となります。

図がないのでなんとも説明しにくいのですが、自分で図を回転させて書いてみるとわかりやすいと思います。

お礼

ありがとうございます。
問題を見落としていました。問題文に鉛直方向に垂らしたところから押すと書いてありました。釣り合いの位置からと勘違いしていたのでどうして単振動にならないのだろう？とずっと思ってました。