代数その1

質問

代数の基礎問題です、模範解答お願いします

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回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

さすがに丸投げだとちょっとなー。ヒントを出すので、一度ご自身で解答を作ってください。

(1) 先ず、Rにおける可逆元は 1と -1しかないことを示す。これは、Rの可逆元の一つを a とした時、 b∈Rがあって　ab = 1となる、という事だが、この時 aが1か-1のどちらかである事を示す事になる。

ここで、一般に x∈Rに対し、 xの「ノルム」 N(x) = |x|^2 (|x|はxを複素数としたときの絶対値。つまり x = v + w√ (-37) (x,y∈Z)とした時、 N(x) = v^2 + 37w^2)　を考えると、一般に x, y∈Rに対して N(x)N(y) = N(xy)が成り立つ（複素数の絶対値の性質を思い出せ）。又、一般にN(x)は非負の実数である。

そこで N(a)N(b) = N(1) = 1であるが、N(a)N(b)が非負の実数であることから、N(a) = 1となる事を確認し、これから aが1と-1のどちらかである事を示せ。

本題に入って：
Zにおける37未満の素数 pが Rにおける既約元であることを示す、という事は、p=cd, c,d∈Rとなるならばcとdのいずれか一方が可逆元であること、即ち cかdのいずれか一方が1か-1である事を示す、という事である。ここで再び N(p) = N(c)N(d)となるが、N(p) = p^2であるゆえ、N(c)はp^2の約数となる（自然数における「素因数分解の一意性」を思い出せ）。すなわち N(c)は1かpかp^2のどれかであるが、実は N(c) = pとはなり得ない事を示せ。そして、N(c) = 1の時はcが可逆元、N(c) = p^2の時は dが可逆元である事を示せ。

(2) 38 = 2 * 19 = (1+√ (-37)) (1-√ (-37))に注目せよ。
(3) 1+√ (-37)　と 1-√ (-37) の二元から生成されるイデアル I が Rの極大イデアルである事を示せ。
先ず、 I = { e + f-√ (-37) | e, f∈Zであり、<e,f>は共に奇数か共に偶数かのどちらか}であることを確認し、その上で Iに属さないx∈Rを取った時、Iと{x}を含む RのイデアルがR自身になる事を示せ。

繰り返しますが、一度ご自身で解答を作って、分からない点があれば補足に下さい。

お礼

ありがとうございますー