線形代数です

質問

線形代数を勉強しているのですがこの同値関係を示したいので解答お願い致します

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回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

一般には成り立ちません。

Rを実数体、V = R[x]、即ちVを実数係数の一変数多項式全体とすると、Vは通常の多項式の和とスカラー倍によって、R上のベクトル空間になります。
f∈Vに対して、g(x) = df/dx （つまり多項式fの微分）とすると、gはV上の一次変換となります。この時 Im(g) = Vであるので（考えてみてください）、 Im(g) = Im(g∘g)です。ところが、ker(g) = { 定数式 } であって、ker (g)≠{0}である一方、先ほど言った通り Im(g) = V であるゆえ、 Im(g)∩ker(g)≠{0} であるので、Im(g)とker(g)は直和になりません。（つまり、問題の⇐方向が成立しません。）

お礼

⇒のみ成り立つのですね、ありがとうございます

回答No.2

tmppassenger

> g(x) = df/dx （つまり多項式fの微分）
正しくは「g(f) = df/dx （つまり多項式fの微分）」